Divergenz von r^r2r^r2\frac{\hat{r}}{r^2} [Duplikat]

In David J. Griffiths' Einführung in die Elektrodynamik hat der Autor das folgende Problem in einer Übung gegeben.

Skizzieren Sie die Vektorfunktion

v →   =   R ^ R 2 ,
und berechne seine Divergenz, wo
R ^   :=   R → R , R   :=   | R → | .
Die Antwort mag Sie überraschen. Kannst du es erklären?

Ich fand die Divergenz dieser Funktion als

1 X 2 + j 2 + z 2
Sagen Sie mir bitte, was hier das Überraschende ist.

konvertieren Sie Ihren Ausdruck für R in kartesische Koordinaten und berechnen dann die Divergenz in diesen Koordinaten. Du hast definitiv die falsche Antwort.
Entschuldigung, der Zähler 'r' ist ein Vektor. Ich weiß nicht, wie man hier auf dieser Website einen Hut über das 'r' setzt. Vektor v = Vektor r/ r^2.
Ja, aber trotzdem sollte Ihre Antwort die Hälfte von dem sein, was Sie geschrieben haben.
Warte, R-Hut oder R-Vektor? R hat bedeutet, dass es sich um einen Einheitsvektor handelt, während r-Vektor bedeutet, dass es sich um einen vollständigen r-Vektor handelt. R → = X ich ^ + j J ^ + z k ^ , R ^ = X ich ^ + j J ^ + z k ^ X 2 + j 2 + z 2 . Fahren Sie mit der Maus über die obigen beiden Formeln und klicken Sie mit der rechten Maustaste auf Quelle anzeigen, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie man Vektoren in TeX erstellt.
Ja, jetzt habe ich es richtig gemacht. Der Nenner ist die Kugelgleichung, ist das das Überraschende? oder sonst was wichtiges hier?
Tut mir leid, es ist ein Vektor, kein Hut. Trotzdem danke für die Quellenangaben.
Ich bezweifle, dass das das Überraschende ist, eine symmetrische Situation gibt normalerweise eine schöne sphärische Antwort. Ich überlege es mir, muss jetzt los.
Mögliche Duplikate: physical.stackexchange.com/q/488220/2451 und Links darin.

Antworten (4)

Ziemlich sicher, dass es um die Frage geht R ^ R 2 , dh das elektrische Feld um eine Punktladung. Naiverweise ist die Divergenz Null, aber die richtige Berücksichtigung der Singularität am Ursprung ergibt eine Delta-Verteilung.

Ich habe das gleiche Buch, also nehme ich an, dass Sie sich auf Problem 1.16 beziehen, das die Divergenz von finden möchte R ^ R 2 .

Wenn Sie auf die Vorderseite des Buches schauen. Es gibt ein Gleichungsdiagramm, das folgenden Kugelkoordinaten folgt ∇ ⋅ v → = 1 R 2 D D R ( R 2 v R ) +  zusätzliche Bedingungen . Da die Funktion v → hier hat nein v θ Und v ϕ Terme sind die zusätzlichen Terme null. Somit ∇ ⋅ v → = 1 R 2 D D R ( R 2 1 R 2 ) = 1 R 2 D D R ( 1 ) = 0 .

So interpretiere ich zumindest das überraschende Element der Frage.

Das Überraschende ist die Antwort von Null im Kontext der Handlung, die naiverweise eine Nicht-Null-Divergenz aufweist!

Überraschend für mich war bei dieser Frage auch, dass die Divergenz nicht negativ war, da die Strömung nach radial außen abnimmt. Eine sehr gute Erklärung dazu habe ich hier gefunden:

http://mathinsight.org/divergence_subtleties

Das sieht eher nach einem Kommentar als nach einer Antwort aus
@freude Die Frage ist 'Bitte sagen Sie mir, was hier das Überraschende ist'. Wieso ist das keine Antwort auf diese Frage?
Das hat mir sehr geholfen. Danke für den Linkkumpel.

Sie können prüfen, ob die Divergenz überall endlich ist.

Aber was ist die physikalische Bedeutung der unendlichen Divergenz?
@sree: Unendliche Ladungsdichte (wenn das Vektorfeld das elektrische Feld ist).
Das Elektron ist hier ein einzelner Punkt. Abzählbar viele Ladungen in einem unendlich kleinen Punkt -> unendliche Ladungsdichte.
Divergenz von r^r2r^r2\frac{\hat{r}}{r^2} [Duplikat]
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