Elektromagnetisches Feld und kontinuierliche und differenzierbare Vektorfelder

Wir haben auch die gleichen Vorstellungen von Ableitung, Curl usw. für Funktionen, die weniger regelmäßig sind. Wenn Sie die Maxwell-Gleichungen schreiben, schreiben Sie ein System von partiellen Differentialgleichungen.

Um sie zu untersuchen, müssen Sie die Art der gesuchten Lösung angeben (in der Sprache der PDEs: klassisch, mild, schwach ...) und den Funktionsraum, in den Sie Ihre Theorie stellen. Ein natürlicher Raum für die elektrischen und magnetischen Felder ist$L^2(\mathbb{R}^3)$, denn dies ist der Energieraum (wo die Energie$\int_{\mathbb{R}^3}(E(x)^2+B(x)^2)dx$ist definiert). Auch regelmäßigere Unterräume wie die Sobolev-Räume mit positivem Index oder größere Räume wie die Sobolev-Räume mit negativem Index werden oft betrachtet.

Diese Räume beruhen auf dem Konzept von fast überall, dh sie können sich schlecht verhalten, aber nur in einer Menge von Punkten mit Nullmaß. Außerdem verallgemeinern die Sobolev-Räume grob gesagt das Konzept der Ableitung. Ich schlage vor, dass Sie sich einen Einführungskurs in PDEs und funktionale Räume ansehen. Ein Standardwerk kann das Buch von Evans sein oder auch das monumentale Werk von Hörmander .

Kommentar zur Bearbeitung : Dasstimmt nicht

Die Maxwell-Gleichungen in Differentialform ergeben immer eine sich gut verhaltende kontinuierliche und differenzierbare Vektorfeldlösung

Betrachten Sie zB die statische Gleichung

$$\begin{equation*} \nabla\cdot E=\rho \; . \end{equation*}$$ Um diese Gleichung zu untersuchen, müssen Sie ihr eine genaue Bedeutung geben. Was sind $E$und $\rho$? Nehmen wir an, wie Sie sagten $\rho$ist eine unstetige Funktion. Dann ist es ziemlich seltsam, nach Lösungen von zu suchen $E$die sind glatt und gut erzogen! Wir haben mathematische Objekte, die sich noch schlechter verhalten können als diskontinuierliche Funktionen und die als Verteilungen bezeichnet werden . Insbesondere interessieren wir uns für die Verteilungen, die dual zu Funktionen des schnellen Abfalls sind, die als bezeichnet werden $\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Ohne auf Details einzugehen, alle Funktionen in $L^p(\mathbb{R}^3)$, $1\leq p \leq \infty$sind Ausschüttungen drin $\mathscr{S}'$, sowie Diracs Delta-Funktion und ihre Ableitungen. Und mathematisch gesehen ist es völlig legitim, obige Divergenzgleichung im Sinne von Verteilungen zu betrachten , also eine Verteilung zu suchen $E\in(\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3))^3$so dass seine Verteilungsdivergenz $\nabla\cdot E \in \mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$ist gleich $\rho\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^3)$. Angenommen, die Gleichung lässt eine Lösung zu, dann wäre diese Lösung im Allgemeinen keine reguläre Funktion, sondern eine Verteilung . Es kann sich beispielsweise um eine unstetige Funktion handeln $L^1$, oder eine Summe von Ableitungen der Delta-Funktion.

Wie auch immer, wie ich bereits geschrieben habe, ist es notwendig, dass Sie das Konzept von Cauchy und Randwertproblemen für PDEs in funktionalen Räumen und auch das Konzept der klassischen, milden und schwachen Lösungen besser verstehen , um die Maschinerie hinter Maxwells Gleichungen vollständig zu verstehen mathematische Bedeutung einer Lösung für ein solches Problem.

Wenn ich Sie richtig verstanden habe, möchten Sie einen strengen mathematischen Formalismus, um PDE-Lösungen zu behandeln, die nicht differenzierbar oder nicht quadratintegrierbar usw. sind. Das heißt, Sie können diese Punktladungen mit aufgeblähten Feldern haben, wobei Felder an Grenzen nicht differenzierbar sind usw.

Es gibt einen rigorosen Formalismus, um solche Dinge zu behandeln. Sie werden verallgemeinerte Funktionen oder Verteilungen genannt . Sie sind eine raffinierte und mathematisch korrekte Methode, um solche "Funktionen" wie Diracs Delta- oder Heavyside-Schrittfunktion zu verwenden.

Um Ihnen einen Vorgeschmack auf diese Bestien zu geben, werde ich kurz erklären, wie es in 1D abläuft. Allgemein gesprochen wird eine verallgemeinerte Funktion als eine lineare Transformation definiert$(f, c)$auf Trägerfunktionen$c$, wobei diese Trägerfunktionen außer in einigen endlichen Bereichen überall Null sind und Ableitungen beliebiger Ordnung haben. Ein Beispiel für eine verallgemeinerte Funktion ist das Integral,

$$(a, c) = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{d}x\,a(x) c(x),$$ wo $a(x)$ist eine integrierbare Funktion. Die verallgemeinerte Funktion, die nützlicher ist, ist $$(\delta, c) = c(0)$$ ist die bekannte Dirac-Delta-Funktion.

Die Ableitung einer verallgemeinerten Funktion ist definiert als

$$(f', c) = (f, -c').$$ Die Motivation für eine solche Definition ist leicht zu erkennen, z $$\int_{-\infty}^{+\infty} dx\,\frac {df(x)}{dx} c(x) = f(x)c(x)\Big|_{-\infty}^{+\infty} - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx} = - \int_{-\infty}^{+\infty} dx\, f(x) \frac{dc(x)}{dx}$$ durch $c(x)$Null für ein Unendliches sein $x$.

Unter Verwendung der Ableitungsdefinition und unseres ersten Beispiels einer verallgemeinerten Funktion findet man für die quadratintegrierbare Heavyside$\theta(x) = \cases{0,& x < 0 \\ 1/2,& x = 0 \\ 1,& x > 0}$das

$$(\theta', c) = (\theta, -c') = -\int_0^\infty dx\, \frac{dc(x)}{dx} = c(0) = (\delta, x),$$ dh, $\theta' = \delta$im Sinne verallgemeinerter Funktionen.

Das heißt, ich habe gezeigt, wie eine Ableitung einer nicht differenzierbaren Funktion eingeführt werden kann ;) Der Formalismus kann verwendet werden, um nicht differenzierbare Lösungen von PDEs zu finden, einschließlich grüner Funktionen.

Sie können mehr über diese auf PDEs angewendete Technik, einschließlich elektrostatischer Probleme und Wellengleichungen, in Vladimirovs 'Equations of Mathematical Physics' lesen , und Sie können eine nette Einführung in verallgemeinerte Funktionen von Gelfand und Shilov, 'Generalized Functions' , lesen . Beachten Sie, dass diese Bücher auf Russisch frei verfügbar sind. Außerdem habe ich keinen Zweifel, dass Sie andere Bücher zu diesem Thema finden werden, die für Sie zugänglicher sind.

PS: Natürlich sind Grenzsprünge Näherungswerte, aber sie sind nützliche, solange Sie nicht tief ins Mikroskopische eintauchen. Außerdem hilft die Technik, über die ich gesprochen habe, nicht wirklich bei grundlegenden Problemen der Elektrodynamik wie dem aufgeblähten Potential einer Punktladung - es ist QED, was Sie brauchen, wenn Sie einem Elektron zu nahe kommen, und selbst QED ist es nicht endgültige Antwort auf das Problem, und es kann sein, dass es überhaupt keine endgültige Antwort gibt. Aber noch einmal, solange Sie makroskopische Felder berechnen, ist es normalerweise in Ordnung, die klassische Elektrodynamik zu verwenden.

Eines der Hauptprobleme, das sich hier abzuspielen scheint, ist die Vorstellung von Punkt- und Oberflächenstrukturen in unserer 3D-Welt. Wenn wir elektrostatische Felder durch eine Verteilung von Punktladungen definieren, sind wir in gewisser Weise nicht physikalisch. Wenn wir weiter auf ein Elektron zoomen, sieht es nicht mehr wie eine Punktladung aus. Betrachten Sie den Darwin-Term im Feinstruktur-Hamiltonoperator. Die "schnelle Quantenschwingung, die die Ladung verschmiert" beseitigt die Idee einer stationären Punktladung (allerdings für das Proton). Was in der Elektrostatik wichtiger ist, ist zu sagen: In welcher Region muss unser Gebiet gelten? Die Antwort ist nur die Region, in der wir Physik betreiben. In guter Näherung verhält sich das Elektron wie eine Punktladung, solange man nicht oben drauf ist. Unsere punktartige Ladungsverteilung ergibt ein gültiges Feld und eine gute Annäherung bis hinab zum Punkt selbst. Das muss aber kein Problem sein. Vergleichen wir mit einem Beispiel aus GR: Bei der normalen Herleitung der Schwarschild-Metrik in GR geht es nur um den Bereich außerhalb des Kugelkörpers. Wenn der Schwarschild-Radius des Körpers außerhalb der physikalischen Grenze des kugelförmigen Körpers liegt, dann beginnt unsere Lösung seltsame Verhaltensweisen zu erzeugen, und das ist großartig, aber wir versuchen nie, mit dieser Metrik in den Körper selbst einzudringen. Es gibt eine Region, mit der wir uns befassen, und wir halten uns daran, und es ist alles in Ordnung. Bei der normalen Herleitung der Schwarschild-Metrik in GR geht es uns nur um den Bereich außerhalb des Kugelkörpers. Wenn der Schwarschild-Radius des Körpers außerhalb der physikalischen Grenze des kugelförmigen Körpers liegt, dann beginnt unsere Lösung seltsame Verhaltensweisen zu erzeugen, und das ist großartig, aber wir versuchen nie, mit dieser Metrik in den Körper selbst einzudringen. Es gibt eine Region, mit der wir uns befassen, und wir halten uns daran, und es ist alles in Ordnung. Bei der normalen Herleitung der Schwarschild-Metrik in GR geht es uns nur um den Bereich außerhalb des Kugelkörpers. Wenn der Schwarschild-Radius des Körpers außerhalb der physikalischen Grenze des kugelförmigen Körpers liegt, dann beginnt unsere Lösung seltsame Verhaltensweisen zu erzeugen, und das ist großartig, aber wir versuchen nie, mit dieser Metrik in den Körper selbst einzudringen. Es gibt eine Region, mit der wir uns befassen, und wir halten uns daran, und es ist alles in Ordnung.

Es gibt ein ähnliches Problem mit Oberflächenladungen. Physikalisch können Sie die Ladung nicht auf das Flugzeug beschränken. Sie können ziemlich gute Arbeit leisten, indem Sie sich der Ebene annähern, aber das zufällige Quantenverhalten setzt eine Grenze. Wir müssen erkennen, dass das Modell keine perfekte Darstellung der Welt ist. Aber auf der Ebene, auf der wir es normalerweise betrachten, ist das normale E-Feld über eine Grenze hinweg ziemlich diskontinuierlich, und unsere Theorie ist die Grenze, dass es diskontinuierlich ist. Das bedeutet nicht, dass es nicht nützlich ist. Wenn wir direkt an diese Grenze herangehen, wird unser Modell zusammenbrechen. Nebenbei bemerkt, ein kugelförmiger Leiter ist keine gleichmäßige Materieverteilung. Wenn es so wäre, wäre es ein mathematischer Ball, und das Banch-Tarski-Paradoxon hätte einige sehr interessante Dinge über diesen Dirigenten zu sagen. Wenn wir sagen, lass' Wenn wir diese Theorie wegwerfen, weil das Feld nicht überall definiert ist, würde ich sagen, wir hätten sie wegen Banach-Tarkski früher wegwerfen sollen. Wenn wir bei Maxwells Elektrodynamik bleiben, müssen wir sie für sich selbst studieren, um sicherzustellen, dass wir immer selbstkonsistent sind.

Sie erwähnen die elektrostatische Energieableitung, die in Griffiths Text in einem Kommentar angegeben ist. Ich denke, Sie sprechen über die Berechnung des elektrischen Potentials und die Wahl des Bezugspunkts. Wenn sich die Ladungsverteilung bis ins Unendliche erstreckt, können wir den Punkt im Unendlichen nicht als Nullreferenz bei der Berechnung des Potentials verwenden, da das Potential im Unendlichen explodiert. Dies ist grundlegend für die Theorie, die wir verwenden. Es ist gleichbedeutend mit dem Versuch, den Punkt bei einer Punktladung als Null zu verwenden. Wir müssen die Theorie so verwenden, wie sie ist. Wenn ich mich richtig erinnere, sagt Griffiths weiter, dass solche Probleme in der realen Welt nicht auftreten, weil es keine unendlichen Distributionen gibt, was ein wenig Ruhe bringt. Aber Sie müssen sich fragen, ob Sie wirklich überrascht sind, wenn nicht hilfreiche Dinge passieren, weil Sie mit mathematischen Kuriositäten spielen.

Sie fragen nach einer Alternative, die diese Probleme nicht hat? Wir verwenden die Elektrodynamik von Maxwell nicht, um elektromagnetische Wirkungsquerschnitte bei kollidierenden Elektronen zu berechnen. Wir verwenden QED. Bei der QED haben die Elektronen kein elektrisches Feld wie bei Maxwell. Elektronen gehen hinein, etwas passiert, Elektronen kommen heraus. Dieses Etwas ist der Austausch virtueller Photonen: Das erste Elektron regt das Hintergrundfeld an, und die Anregung – das Photon – breitet sich aus und interagiert dann mit dem anderen Elektron. Es gibt viele verschiedene „Wege“, über die dies geschehen kann, und wir müssen sie zusammenfassen usw. Lassen Sie uns jedoch nicht mit der Quantenfeldtheorie verzetteln, denn Sie müssen kein Experte sein, um zu wissen, dass sie mit Unendlichkeiten übersät ist.

Sollten wir also das vollständige Standardmodell Lagrangian verwenden, um alles zu tun? Nun nein. Es lohnt sich wahrscheinlich, einen Blick auf die beiden großen Gründe dafür zu werfen. Erstens ist es keine Theorie von allem, es macht keine Schwerkraft. Zweitens ist der Rechenaufwand für die Dynamik der 3 Quarks + Gluon-Plasma (+ was auch immer sonst durch die Paarproduktion herumhängt) ziemlich groß, egal, was in meinem Wasserglas auf Quark-Ebene vor sich geht. Wenn wir etwas Nützliches über mein Glas Wasser sagen wollen, schauen wir uns an, welche Annahmen wir treffen können, und finden eine einfachere Theorie, mit der wir tatsächlich arbeiten können.

Wirklich, worüber Sie gestolpert sind, ist die böse Wahrheit der Physik. Wir sind es gewohnt, es die ganze Zeit zu hören, aber normalerweise erkennen wir nicht genau, was es bedeutet und wie weit es reicht. In der Physik geht es darum, das Universum zu modellieren. Newtons Gravitationsgesetz ist ein Modell. Es funktioniert in der schwachen Feldgrenze, aber GR ist "besser". Wir akzeptieren, dass es nicht 100 % ist, aber wir wissen, dass es unter bestimmten Bedingungen verdammt genau ist und viel einfacher zu handhaben ist. Hier ist es offensichtlich. Aber im gleichen Sinne ist GR falsch, das Standardmodell der Teilchenphysik ist falsch usw. Es werden einige grundlegende Annahmen getroffen und wir müssen uns auf Probleme beschränken, bei denen die Annahmen gelten, oder wir gehen und gewinnen einen edlen Preis.

Etwas wie$\textbf{E}(\textbf{r}) \propto (\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime})/|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}$aufgrund einer statischen Punktladung nicht zur entsprechenden Klasse von Funktionen (differenzierbar, quadratintegrierbar etc.) z$\textbf{E}$Felder. Im mathematisch präzisen Sinne ist es keine Lösung der Maxwell-Gleichungen.

Dennoch können wir es nur als Zwischenobjekt (Greensche Funktion) und nicht als Endprodukt betrachten. Um eine tatsächliche Lösung zu erhalten, machen wir immer eine Faltung mit einer Quelle, nämlich

$$\begin{equation} \textbf{E}(\textbf{r}) = \int d^{3}\textbf{r}^{\prime} \rho(\textbf{r}^{\prime})\frac{\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}}{|\textbf{r}-\textbf{r}^{\prime}|^{3}}. \end{equation}$$

Was Diskontinuitäten von Feldern an Grenzen betrifft, können wir ihnen einfach erlauben, dort diskontinuierlich zu sein. Sie führen nicht zu einer pathologischen Situation, zB dass die Energie unendlich ist. Die Maxwell-Gleichungen (in Differentialformen) sind nur im Inneren jeder Region gültig, und die Lösungen aus verschiedenen Regionen werden entsprechend den Randbedingungen angepasst.