Was sind gute nichtparaxiale gaußsche Strahl-ähnliche Lösungen der Helmholtz-Gleichung?

Der sauberste Weg, dies zu tun, ist die Verwendung sogenannter komplexer Fokusfelder, die aus einer kleinen Reihe einfacher (wenn auch nicht offensichtlicher) Schlüsselideen bestehen:

• Die Grundzutat ist die multipolare Lösung der Helmholtz-Gleichung,

  $$\Lambda_{l,m}(\mathbf r) = 4\pi i^l \: j_l(kr)Y_{lm}(\theta,\phi),$$ Wo$j_l(kr)$ist eine sphärische Bessel-Funktion und$Y_{lm}(\theta,\phi)$eine sphärische Harmonische ist und die erfüllt$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  In Bezug auf die kartesischen Koordinaten von$\mathbf r=(x,y,z)$, das sieht etwas einschüchternd aus, wie$\theta$Und$\phi$sind unstetige Funktionen und$j_l(kr)$hat eine Quadratwurzel, aber das wissen wir auch$j_l(kr)\sim r^l$mal eine konvergente Reihe in$r^2$, und wenn dieser Faktor in die sphärische Harmonische eingebaut wird, erhalten wir die solide sphärische Harmonische $S_{lm}(\mathbf r) = r^l \: Y_{lm}(\theta,\phi)$, die ein homogenes Gradpolynom ist$l$In$x,y,z$.

  ... all das ist eine langatmige Art, das zu sagen$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$ist nicht nur eine stetige Funktion von$x,y,z$, aber es ist eigentlich eine ganze Funktion.

• Die zweite wichtige Zutat ist die Tatsache, dass$\Lambda_{l,m}(\mathbf r)$ist vollständig und verdrängt die$z$koordinieren durch einen imaginären Offset, to$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$, was die Helmholtz-Gleichung nicht beeinflusst$(\nabla^2+k^2)\Lambda=0$.

  Als$\zeta$zunimmt, entfernen sich die Lösungen vom Kugelwellencharakter, und ihr Winkelspektrum konzentriert sich mehr und mehr auf vorwärtslaufende Wellen. Im großen$k\zeta$Grenze, werden die Lösungen zuerst zu eng fokussierten, nichtparaxialen Strahlen, und dann defokussieren sie, um sich fortpflanzenden Strahlen in der paraxialen Grenze zu nähern. Etwas präziser,

  • die monopolare Lösung$\Lambda_{0,0}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$nähert sich einem Gaußschen Strahl, und
  • die "extremen" Fälle$\Lambda_{l,\pm l}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$mit Drehimpuls ungleich Null nähern sich den (Basis-)Laguerre-Gauß-Balken ohne Radialknoten.
  • (Die mittleren Fälle,$\Lambda_{l,m}(\mathbf r-i\zeta\hat{\mathbf{e}}_z)$mit$|m|<l$, werden zu komplexen Stehwellenmischungen von Wellen in verschiedenen Richtungen.)

• Um schließlich geeignete Vektorlösungen (im Gegensatz zum Skalar$\Lambda_{l,m}$), die die Transversalitätsbedingung erfüllen$\nabla\cdot\mathbf E=0$Neben der Helmholtz-Gleichung kann man geeignete Differentialoperatoren verwenden (mit guten Beispielen sind$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = \tfrac{1}{ik} \nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))$Und$\mathbf V_{\mathbf p} f(\mathbf r) = -\tfrac{1}{k^2} \nabla \times \left(\nabla \times (\mathbf p f(\mathbf r))\right)$), die einzelne Ableitungen beinhalten und als solche die Helmholtz-Gleichung nicht beeinflussen.

Eine gute Referenz, die sich eingehend mit diesen Bereichen befasst, ist

• Skalare und elektromagnetische nichtparaxiale Basen, die als Überlagerungen einfacher Wirbelfelder mit komplexen Brennpunkten zusammengesetzt sind. R. Gutierrez-Cuevas und MA Alonso. Option. Express 25 , 14856 (2017) .

und meine eigene Verwendung ist in

• Skyrmionische Felder mit optischer Polarisation im freien Raum. R. Gutierrez-Cuevas und E. Pisanty. J. opt. 23 , 024004 (2021) , arXiv:2101.09254 .

Meine Implementierung auf Mathematica ist als ComplexFocusPaket auf GitHub unter github.com/ComplexFocus/ComplexFocus verfügbar .

Ich würde Abschnitt II meiner alten Arbeit denken,

Effiziente Erwärmung dünner zylindrischer Targets durch breite elektromagnetische Strahlen I. Andrey Akhmeteli. arXiv:physics/0405091 (2004).

enthält genau das, was Sie brauchen: eine relativ einfache exakte Lösung der freien Maxwell-Gleichungen, die im Grenzfall durch einen Gaußschen Strahl asymptotisch angenähert wird$\delta/\lambda\rightarrow\infty$, Wo$\delta$ist die Größe der Taille des Gaußschen Strahls und$\lambda$ist die Wellenlänge.

Die Lösung wird in Form von Hertz-Potentialen ausgedrückt (siehe Formeln 1-6, 21-22). Die Lösung ist für einen zirkular polarisierten Gaußschen Strahl geschrieben, aber es ist nicht schwierig, die Lösung zu modifizieren, um einen linear polarisierten Strahl zu erhalten.

Diese Lösung hat die Form eines einzelnen 1D-Integrals, das numerisch integriert werden muss (da es scheint, dass Mathematica es nicht symbolisch integrieren kann). Die Arbeit stellt die Hertz-Potentiale als Integral dar; wenn Sie die Felder direkt wollen, sollten Sie die Ableitungen in der doppelten Schleife symbolisch vor der numerischen Integration nehmen, und Sie sollten darauf achten, Formeln für Ableitungen der Bessel-Funktionen zu verwenden, die keinen Genauigkeitsverlust verursachen (damit Sie nicht rechnen eine Differenz zweier Funktionen, die sich in der Nähe von Null nicht stark unterscheiden).

Das numerische Integral ist oszillierend, aber ob es „hoch oszillierend“ ist, entscheiden Sie selbst. Sie können ihn mit der schnellen Fourier-Transformation oder der schnellen Hankel-Transformation (Fourier-Bessel-Transformation) berechnen, je nachdem, ob Sie Werte entlang einer Linie parallel zur Strahlachse oder entlang eines Radius benötigen.

Sie suchen eine lokalisierte exakte Lösung der Klein-Gordon-Gleichung:

$$(-\partial_t^2 + \partial_x^2 + \partial_y^2+ \partial_z^2) \phi(t,x,y,z)=0$$

Wie in einer neueren Veröffentlichung vorgestellt , kann man die Lichtkegelkoordinaten von Dirac verwenden

$$x^\pm=\frac{1}{\sqrt{2}}(z \pm ct)$$ wobei die genaue Form der Wellengleichung durch gegeben ist $$(-2 c^2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\phi(x^-,x^+,x,y)=0$$ Wo $$\partial_\pm=\frac{\partial}{\partial x^\pm},\partial_x=\frac{\partial}{\partial x}, \partial_y = \frac{\partial}{\partial y}.$$ Betrachten Sie nun die Fourier-Transformation entlang der x^-Richtung: $$\phi=\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)$$ .

Dann in der Einheit von$c=1$, vereinfacht sich die Wellengleichung zu:

$$(-2 \partial_{+}\partial_{-}+\partial_x^2 + \partial_y^2)\int d\omega e^{i \omega x^-} \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$

$$\updownarrow$$ $$\int d\omega e^{i \omega x^-}(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ $$\updownarrow$$ $$(-2 i \omega \partial_+ + \partial_x^2 + \partial_y^2) \tilde{\phi}(\omega,x^+,x,y)=0$$ das ist die Helmholtz-Gleichung. Anders als bei der gewöhnlichen paraxialen Näherung wird bei den Dirac-Lichtkegelkoordinaten keine Näherung verwendet.

Nehmen Sie also eine bekannte Lösung der paraxialen Näherung, zum Beispiel die Hermite Guasian-Modi, ändern Sie t in x ^ +, Sie erhalten einen exakten Modus.