Integralsatz von Helmholtz und Kirchhoff

Um nicht von der Größe der Arbeit abzulenken, die diese Leute vor langer Zeit geleistet haben, oder in irgendeiner Weise den Wert von Goodmans Buch zu diesem Thema zu schmälern, kann man einen anderen Ansatz zur Behandlung der Beugung verwenden, der ebenso rigoros und meiner Meinung nach viel verständlicher ist . Es benötigt kein Klebeband . Indem ich diesen Ansatz erkläre, werde ich hoffentlich Ihre Fragen beantworten.

Die Idee ist, Freiraum als System zu behandeln. Dieses System ist linear und verschiebungsinvariant . Die Eingabe in das System ist die komplexe Funktion, die das skalare optische Feld in der Eingabeebene darstellt$g(x,y,0)$und die Ausgabe ein komplexes optisches Feld in der Ausgabeebene ist$g(x,y,z)$, in einiger Entfernung gelegen$z$aus der Eingangsebene. Basierend auf der Linearität und der Verschiebungsinvarianz kann man sofort einen allgemeinen Ausdruck für die Ausgabe in Bezug auf die Eingabe aufschreiben

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy .$$ Sie werden vielleicht bemerken, dass dies ein Faltungsintegral und ist $G(x,y;z)$ist eine Green-Funktion ( in der linearen Systemtheorie auch als Impulsantwort bezeichnet).

Wie erhält man den Ausdruck für diese Green-Funktion? Unter Verwendung eines Standardansatzes kann wie folgt vorgegangen werden. Die Idee ist, die Eingabefunktion in Bezug auf die Eigenfunktionen des Systems zu erweitern und dann die Ausgabefunktion aus diesen Eigenfunktionen zu rekonstruieren, nachdem man sie durch das System passieren ließ.

Was sind die Eigenfunktionen für die Ausbreitung im freien Raum? Sie wären die Lösungen der Helmholtz-Gleichung; für unsere Zwecke hier können wir die ebenen Wellen verwenden. Was passiert mit ebenen Wellen, wenn sie sich über eine Distanz ausbreiten$z$? Sie nehmen einen Phasenfaktor auf, der vom Ausbreitungsvektor und der Ausbreitungsentfernung abhängt. Insbesondere,

$$\exp[-i (x k_x + y k_y)] \rightarrow \exp[-i (x k_x + y k_y + z k_z)] ,$$ Wo $$k_z = \sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2} .$$

Um nun die Eingabefunktion in Bezug auf ebene Wellen zu erweitern, muss man einfach eine 2D-Fourier-Transformation der Eingabefunktion durchführen. Das Ergebnis ist das Winkelspektrum$F(k_x,k_y)$. Dann würde man dieses Winkelspektrum mit dem Ausbreitungsphasenfaktor multiplizieren$\exp(-i z k_z)$, und führen Sie die inverse Fourier-Transformation durch, um die Ausgabefunktion zu erhalten.

Der gesamte Prozess kann ausgedrückt werden als

$$g(x,y,z)=\int \int g(x',y',0) e^{i (x' k_x + y' k_y)} dx dy\ e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$ Das Integral vorbei $x,y$repräsentiert die erste Fourier-Transformation und das Integral darüber $k_x,k_y$ist die letzte inverse Fourier-Transformation.

Man kann nun die Integrationsreihenfolge vertauschen und das Integral schreiben als

$$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) \int e^{-i [(x-x') k_x + (y-y') k_y + z k_z]} d k_x d k_y dx dy .$$ Dann kann man zunächst die Integrale über auswerten $k_x,k_y$zu bekommen $$g(x,y,z)=\int g(x',y',0) G(x-x',y-y';z) dx dy ,$$ Wo $$G(x,y;z)=\int e^{-i (x k_x + y k_y + z k_z)} d k_x d k_y .$$

Wir sehen also, dass wir tatsächlich ein Faltungsintegral erhalten, und die Green-Funktion ist einfach das Integral über alle ebenen Wellen mit$k_z$ausgedrückt in Bezug auf$k_x$Und$k_y$. Allerdings ist das letztere Integral nicht so einfach auszuwerten. In der paraxialen Grenze ergibt es den Fresnel-Kern. Wenn man das Integral für die Green-Funktion numerisch auswertet, sieht man, dass es der bekannten Green-Funktion für die Ausbreitung im freien Raum ähnelt

$$G(r) = \frac{\exp(i k r)}{r} .$$ Es ist jedoch nicht genau dasselbe.

Hoffentlich gibt Ihnen dies eine intuitivere Möglichkeit, die Ausbreitung im freien Raum zu verstehen.

Die Standard-Beweismethode des HKIT nutzt eine allgemeine Beziehung zwischen zwei Funktionen (zweite Identität von Green), um eine Eigenschaft einer allgemeinen Funktion abzuleiten ($U$) aus den Eigenschaften eines bestimmten ($G$). In diesem Fall wird die "allgemeine Beziehung" vereinfacht (ihre LHS wird Null), da beide Funktionen Lösungen der Helmholtz-Gleichung sind ($U$durch Hypothese und$G$Durch den Bau). Der „Klebeband“-Eindruck entsteht, weil es kontraintuitiv ist, eine Eigenschaft einer Funktion aus den Eigenschaften einer anderen abzuleiten.

Unter Verwendung des HKIT oder auf andere Weise* kann man zeigen, dass die Wellenfunktion in einer Region, die keine Quellen enthält, aufgrund von „primären“ Quellen außerhalb dieser Region so ist, als ob die primären Quellen durch eine bestimmte Verteilung von „sekundären“ Quellen ersetzt würden die Grenze der Region. Aber es stellt sich heraus, dass die sekundären Quellen eine gewisse Direktionalität haben – die von Ihrem zuletzt vorgeschlagenen Integral nicht erfasst wird, das daher nicht mit dem HKIT äquivalent ist.

* Hier ist mein Versuch, es "anders" zu machen, wobei ich eine Form des HKIT aus den Sekundärquellen bekomme, anstatt umgekehrt: " Konsistente Ableitung von Kirchhoffs Integralsatz und Beugungsformel und der Maggi-Rubinowicz-Transformation unter Verwendung Schulmathematik “. Wenn ich es also nicht groß vermasselt habe, kann das HKIT ohne die Identität von Green erhalten werden (und ohne anzunehmen, dass die Integrationsoberfläche planar ist). PS (15. Oktober 2022): Ich habe es an einer Stelle vermasselt, aber ich habe den Link aktualisiert, um eine korrigierte Version anzuzeigen.