Integration des Tensors, um Potenzial zu finden

Ich habe folgende Frage:

∂ k φ = − ( C k + D J k R J )
Wo C k & D J k sind Konstanten und D J k ist symmetrisch und spurlos. ich muss finden φ .

Ich bekomme : φ = A − C k R k − D J k R J R k

aber antwort ist: φ = A − C M R M − 1 2 D S M R S R M Ich bin ahnungslos 1 2 Begriff in der Antwort.

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Wenn Sie überlegen, den dritten Term zu differenzieren:

∂ ich ( − 1 2 D J k R J R k )

Ziehen Sie zuerst die Konstanten nach vorne:

− 1 2 D J k ∂ ich ( R J R k )

Wenden Sie dann die Produktregel an R J R k und sehen, was Sie bekommen. Da dies eine Hausaufgabenfrage ist, gehe ich nicht weiter und möchte Sie mit diesem Hinweis versuchen lassen, aber ich füge gerne weitere hinzu, wenn Sie sie immer noch nicht verstehen.

Wenn ich von der Antwort auf die Frage gehe, verstehe ich das
1 2 D S M ∂ k R S R M = 1 2 D S M ( R M δ k S + R S δ k M ) = 1 2 ( D k M R M + D k S R S ) = D J k R J
aber wie soll ich nur von der Frage ausgehen:
∫ ∂ R k   D J k R J
Richtig, das ist also Ihr Faktor von der Hälfte, da der Term quadratisch ist.
Brunnenintegration ist das Gegenteil von Differenzieren und wird normalerweise durch Inspektion durchgeführt. Dies ist unsere Inspektion, die wir umkehren, um die Hälfte zu erhalten.
In der Tat! Vielen Dank für die Begrüßung auf dem Stack
Ich habe meinen letzten Kommentar gelöscht, weil mir klar wurde, dass er falsch war, entschuldigen Sie das. Aber ja was du geschrieben hast ist richtig. Es gibt also drei Möglichkeiten, damit umzugehen: 1) Verwenden Sie den Gradientensatz und integrieren Sie so durch Inspektion, wie ich vorgeschlagen habe. 2) r entlang der Kurve parametrisieren, Variablen in den Parameter ändern und integrieren und dann r wieder ersetzen. 3) Erweitern Sie das innere Produkt (implizite Summierung über k) und integrieren Sie es, wie in @ Yepmans Antwort erläutert.

Ich denke, Ihre Antwort und die offizielle Antwort sind im Grunde gleich, aber sie haben die Tatsache verwendet, dass der Tensor D symmetrisch ist und Ihre Lösung ein zusätzliches kleines Problem aufweist. Lassen Sie mich von vorne beginnen:

∂ k ϕ = − D J k R J
dieser Ausdruck kann geschrieben werden als:
∂ k ϕ = − 1 2 ∑ J ≠ k ( D J k R J + D k J R J ) − D k k R k
Wo ich gerade Symmetrie verwendet habe. Dies lässt sich leicht integrieren als:
A − 1 2 ∑ J ≠ k ( D J k R J R k + D k J R J R k ) − 1 2 D k k R k R k
Nun, da jeder Begriff, der nicht enthält R k in diesem Moment nur eine Konstante ist, können Sie diese Menge von dem Ausdruck subtrahieren:
± ∑ S ≠ k M ≠ k D S M R S R M
wobei der Plus-Term in A geht und das Minus Ihnen erlaubt, den genauen Ausdruck zu erhalten.

Übrigens, wie kündigen Sie ein zusätzliches Semester,
± ∑ S ≠ k M ≠ k D S M R S R M
Ich verstehe es nicht, kannst du es erklären?
Die Integrationskonstante ist im Allgemeinen eine Funktion von R ich ≠ k und wie andere Methoden zeigen, muss diese Funktion eine Konstante plus der negative Zweig dieses Terms sein.
( A + ∑ S ≠ k M ≠ k D S M R S R M ) − 1 2 ∑ J ≠ k ( D J k R J R k + D k J R J R k + ∑ S ≠ k M ≠ k D S M R S R M )
Wie vereinfacht sich das?@ChrisLong
Nun, ich meinte das nur, da A alles sein kann, was keine Funktion von ist R k das kann man nur sagen:
A + ∑ S ≠ k M ≠ k D S M R S R M → A
Integration des Tensors, um Potenzial zu finden
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