Elektromagnetischer Tensor in Zylinderkoordinaten

Verwenden Sie einfach den Jacobi der Koordinatensystemtransformation. Wenn Ihre kartesischen Koordinaten sind$\mu$Und$\nu$und Ihre Zylinderkoordinaten sind$\mu', \nu'$, dann gibt es einen Jacobi${f_\mu}^{\mu'}$damit kann man schreiben

$$F^{\mu' \nu'} = F^{\mu \nu} {f_\mu}^{\mu'} {f_\nu}^{\nu'}$$

wo der Jacobi gegeben ist

$${f_\mu}^{\mu'} = \frac{\partial x^{\mu'}}{\partial x^\mu}$$

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Nun, das ist alles schön und gut, aber Sie denken vielleicht, dass es ein bisschen abstrakt ist, und ... das ist es. Es gibt stattdessen einen anderen Weg, dies zu tun, indem man die sogenannte geometrische Algebra verwendet .

In der geometrischen Algebra wird der EM-Tensor als Bivektor bezeichnet und nimmt die Form an

$$F = F_{tx} e^t \wedge e^x + F_{ty} e^t \wedge e^y + \ldots = \frac{1}{2} F_{\mu \nu} e^\mu \wedge e^\nu$$

Wo$e^\mu$Basis-Covektoren darstellen. Was wir hier verwendet haben, wird als Keilprodukt bezeichnet , und orthogonale Basisvektoren werden darunter antikommutieren.

Um die Komponenten in einer neuen Basis zu extrahieren, haben Sie ein paar Möglichkeiten: (1) Sie können die Basis-Covektoren in Bezug auf die zylindrische Basis schreiben und vereinfachen. Das würde also das Schreiben nach sich ziehen$e^x$Und$e^y$bezüglich$e^\rho$Und$e^\phi$. Dies ist äquivalent zum Finden des inversen Jacobi.

Es gibt jedoch eine andere Möglichkeit (2), nämlich einfach das innere Produkt der Basisvektoren zu nehmen$e_\rho \wedge e_t, e_\phi \wedge e_t$und so weiter mit$F$. Dies erfordert etwas mehr Kenntnisse in geometrischer Algebra, aber Sie können schreiben$e_\rho \wedge e_t$bezüglich$e_x \wedge e_t, e_y \wedge e_t$, und so weiter, was eine einfachere Berechnung sein kann.

Letzteres mache ich hier, um die Technik zu demonstrieren. Siehst du das$e^\rho = e^x \cos \phi + e^y \sin \phi$. Wir können dann finden$F^{t \rho}$als:

$$\begin{align*}F^{t\rho} &= F \cdot (e^\rho \wedge e^t) \\ &= F \cdot (e^x \wedge e^t \cos \phi + e^y \wedge e^t \sin \phi) \\ &= F^{tx} \cos \phi + F^{ty} \sin \phi \end{align*}$$

Dies ist nicht exotischer, als die Komponenten eines Vektors in einer neuen Basis zu finden, indem man die Projektion des Vektors auf jeden neuen Basisvektor findet.