Maxwell-Spannungstensor in Abwesenheit eines Magnetfelds

Question

Maxwell-Spannungstensor in Abwesenheit eines Magnetfelds

pafcu

Ich habe einige Probleme bei der Berechnung des Spannungstensors bei einem statischen elektrischen Feld ohne Magnetfeld. Nach der Herleitung auf Wikipedia,

Beginnen Sie mit der Lorentzkraft:
$F = Q (E + v \times B)$ $\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B})$
Kraftdichte erhalten
$F = ρ E + J \times B$ $\mathbf{f} = \rho\mathbf{E} + \mathbf{J}\times\mathbf{B}$
Ersetzen Sie mit den Maxwellschen Gesetzen
$F = ϵ_{0} (\nabla \cdot E) E + \frac{1}{μ_{0}} (\nabla \times B) \times B - ϵ_{0} \frac{\partial E}{\partial T} \times B$ $\mathbf{f} = \epsilon_0 \left(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} \right)\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0} \left(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B} \right) \times \mathbf{B} - \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \times \mathbf{B}$
Ersetzen Sie einige Locken und kombinieren Sie
$F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E] + \frac{1}{μ_{0}} [(\nabla \cdot B) B + (B \cdot \nabla) B] - \frac{1}{2} \nabla (ϵ_{0} E^{2} + \frac{1}{μ_{0}} B^{2}) - ϵ_{0} \frac{\partial}{\partial T} (E \times B)$ $\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E} + (\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E} \right] + \frac{1}{\mu_0} \left[(\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{B} )\mathbf{B} + (\mathbf{B}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{B} \right] - \frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\left(\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0} B^2 \right) - \epsilon_0\frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{E}\times \mathbf{B}\right)$
Holen Sie sich den Tensor
$σ_{ich J} = ϵ_{0} (E_{ich} E_{J} - \frac{1}{2} δ_{ich J} E^{2}) + \frac{1}{μ_{0}} (B_{ich} B_{J} - \frac{1}{2} δ_{ich J} B^{2})$ $\sigma_{i j} = \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0} \left(B_i B_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} B^2\right)$
Angenommen B = 0:
$σ_{ich J} = ϵ_{0} (E_{ich} E_{J} - \frac{1}{2} δ_{ich J} E^{2})$ $\sigma_{i j} = \epsilon_0 \left(E_i E_j - \frac{1}{2} \delta_{ij} E^2\right)$
Nehmen Sie eine flache Oberfläche mit senkrechtem Feld an (z-Richtung)
$σ_{z z} = ϵ_{0} (E^{2} - \frac{1}{2} E^{2}) = \frac{ϵ_{0}}{2} E^{2}$ $\sigma_{z z} = \epsilon_0 \left(E^2 - \frac{1}{2} E^2\right)=\frac{\epsilon_0}{2} E^2$

Dies ist die Formel, die z. B. in The Feynman Lectures in Physics Vol. No. 2 (Seite 31-14) und einige andere Lehrbücher.

Diese Ableitung scheint jedoch bis zu den letzten Schritten ein Magnetfeld anzunehmen. Da die meisten Terme in Gl. 4 ergeben sich aus dem anfänglichen vx B-Term (selbst diejenigen, die nur von E abhängen, $(\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla}) \mathbf{E}$ Und $\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla}\epsilon_0 E^2$ ), diese sollten in meinem Fall nicht vorhanden sein, und in der Tat sollte Gleichung 4 so einfach sein wie

F = ϵ_{0} [(\nabla \cdot E) E]

$\mathbf{f} = \epsilon_0\left[ (\boldsymbol{\nabla}\cdot \mathbf{E} )\mathbf{E}\right]$

Tensorrechnung ist nicht meine Stärke. Mir ist nicht klar, wie man von Gl. 4 zu Gl. 5 kommt und wie das Modifizieren von Gl. 4 den resultierenden Spannungstensor verändert. Wird es wirklich immer noch dasselbe sein wie Gl. 6? Mir erscheint es seltsam, dass das Entfernen von Begriffen das Ergebnis nicht beeinflusst, aber dies scheint das zu sein, was viele Lehrbücher behaupten. Oder gibt es einen Grund, warum der anfängliche vx B-Term nicht entfernt werden kann, selbst wenn kein Magnetfeld vorhanden ist?

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Maxwell-Spannungstensor in Abwesenheit eines Magnetfelds

Friedrich Brünner · Answer 1

Der Spannungstensor ist so definiert, dass man mit seiner Divergenz wieder auf die Kraftdichte zurückkommt (abgesehen vom Kreuzproduktterm, der der zeitlichen Ableitung des Poynting-Vektors entspricht). Im Fall von $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ , nehmen wir die Divergenz in der Indexnotation, dh

F_{J} = \partial_{ich} σ_{ich J} = ϵ_{0} (\partial_{ich} (E_{ich} E_{J}) - \frac{1}{2} δ_{ich J} \partial_{ich} (E_{k} E_{k})) = ϵ_{0} (\partial_{ich} E_{ich} E_{J} + E_{ich} \partial_{ich} E_{J} - \frac{1}{2} \partial_{J} (E_{k} E_{k})) .

$f_j=\partial_i\sigma_{ij}=\epsilon_0\left(\partial_i(E_iE_j)-\frac12\delta_{ij}\partial_i(E_kE_k)\right)=\epsilon_0\left(\partial_iE_iE_j+E_i\partial_iE_j-\frac12\partial_j(E_kE_k)\right).$

Um zu sehen, dass dieser Ausdruck dem ersten Term in Ihrem Ausdruck 3. entspricht, formen wir dies in indexfreier Notation um:

F = ϵ_{0} ((\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E - \frac{1}{2} \nabla (E \cdot E)) .

$\mathbf{f}=\epsilon_0\left((\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}+(\mathbf{E}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{E}-\frac12\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{E})\right).$

Nutzung der Identität

\frac{1}{2} \nabla (A \cdot A) = A \times (\nabla \times A) + (A \cdot \nabla) A

$\frac{1}{2} \boldsymbol{\nabla} \left( \mathbf{A}\cdot\mathbf{A} \right) = \mathbf{A} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) + (\mathbf{A} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A}$

und die Maxwell-Gleichung (z $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ )

\nabla \times E = 0,

$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{E}=\mathbf{0},$

wir glauben, dass

F = ϵ_{0} (\nabla \cdot E) E .

$\mathbf{f}=\epsilon_0(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{E})\mathbf{E}.$

Daraus können wir erkennen, dass es keine Rolle spielt, an welcher Stelle der Ableitung das Magnetfeld weggelassen wird.

Jold · Answer 2

Eine viel, viel einfachere Methode wäre es, den Spannungs-Energie-Tensor des elektromagnetischen Feldes aus seiner Definition zu finden:

T_{v}^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} ϕ)} \partial_{v} ϕ - L δ_{v}^{μ}

$T^\mu_{~~~\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi )}\partial_\nu \phi-\mathcal{L}\delta^\mu_{~~\nu}$

Wo $\phi$ ist das Feld, dessen Stress-Energie Sie suchen, und $\mathcal{L}$ ist die Lagrange-Dichte für das Feld, dh in diesem Fall die elektromagnetische Lagrange-Dichte. Dann wird der Maxwell-Spannungstensor nur die räumlichen Komponenten von sein $T_{\mu \nu}$ .

Ehhhh ... Das ist etwas kniffliger als es aussieht, weil die naive Anwendung dieser Formel einen Spannungsenergietensor ergibt, der nicht symmetrisch ist, und Sie müssen dies korrigieren, indem Sie einen divergenzfreien Teil hinzufügen, wenn ich mich nicht irre.

Muphrid · Answer 3

Mit dem Faraday-Bivektor können Sie voll in die spezielle Relativitätstheorie einsteigen $F = e_t \wedge E/c$ (da wir ausdrücklich gesagt haben, dass es kein Magnetfeld gibt).

Der Spannungs-Energie-Tensor ist immer

\underline{T} (A) = - \frac{1}{2 μ_{0}} F A F = - \frac{1}{2 μ_{0} C^{2}} e_{T} E A e_{T} E

$\underline T(a) = -\frac{1}{2\mu_0} FaF = -\frac{1}{2\mu_0 c^2} e_t E a e_t E$

Lassen $e_t e_t = -1$ und nehme $a = e_t$ .

\begin{aligned} \underline{T} (e_{T}) & = - \frac{ϵ_{0}}{2} e_{T} E e_{T} e_{T} E \\ = - \frac{ϵ_{0}}{2} e_{T} E (- 1) E \\ = \frac{ϵ_{0}}{2} e_{T} E^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} \underline T(e_t) &= -\frac{\epsilon_0}{2} e_t E e_t e_t E \\ &= -\frac{\epsilon_0}{2} e_t E(-1)E \\ &= \frac{\epsilon_0}{2} e_t E^2 \end{align*}$

Wenn Sie natürlich nicht wissen , was der EM-Stress-Energie-Tensor überhaupt ist, ist das möglicherweise nicht viel hilfreich. Wenn Sie wissen, dass Ihr Feld statisch und ohne magnetischen Beitrag ist, können Sie in Bezug auf Ihre Ableitung alle magnetischen Terme (und Zeitableitungen) wegwerfen, sobald sie erscheinen. Es gibt keinen Grund, sie beizubehalten, außer um später Arbeit zu sparen (wenn Sie erwarten, dass Sie für ein anderes Problem einen allgemeineren Ausdruck benötigen).

Siehst du das $(\nabla \cdot E) E + (E \cdot \nabla) E = \frac{1}{2} \nabla E^2$ . Dies folgt aus der Produktregel. Von hier aus können Sie sich das nur vorstellen $\underline \sigma(\nabla) = f$ , Wo $\nabla$ wirkt auf die Terme innerhalb des Spannungstensors.

Maxwell-Spannungstensor in Abwesenheit eines Magnetfelds

pafcu

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Friedrich Brünner

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Muphrid

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