Potential in der Mitte einer kubischen Box

Es scheint, dass die Antwort eigentlich genau sein sollte. Der Beweis geht wie folgt.

Lassen Sie uns die Ladungsverteilung definieren$C_1$die Verteilung, die das System (das ganze System, nicht nur eine Seite) haben würde, wenn die Randbedingungen erfüllt sind und die 1. Seite des Würfels Potenzial hat$V_0$. Lassen Sie uns ähnlich definieren$C_2$...$C_6$. Nun haben diese Distributionen eine offensichtliche (aber sehr nützliche) Eigenschaft. Wegen Überlagerung, wenn das System vorher eine Ladungsverteilung hatte und somit irgendein Punkt, der zB auf Fläche 1 liegt, vorher Potential hatte$\phi_1$, nach dem Hinzufügen$C_i$, es hätte Potenzial$\phi_1 + V_0$Wenn$i = 1$Und$\phi_1$Wenn$i \neq 1$(direkt aus der Definition von$C_1$).

Wegen der Symmetrie addieren$C_i$zum System für alle$i$, muss das Potential in der Mitte um einen konstanten Betrag erhöhen$\Delta V$. Allerdings wegen der "offensichtlichen" Eigenschaft, wenn der Würfel zunächst mit keinen Gebühren belastet wird$C_1 + ... + C_6$, liegt der Rand des resultierenden Würfels gleichmäßig auf Potential$V_0$- was impliziert, dass es im Zentrum auch ist$V_0$(es ist effektiv in einem Metallkäfig). Daher$\Delta V$muss gewesen sein$V_0 / 6$, das ist die Antwort.

Für harmonische Funktionen (Lösungen der Laplace-Gleichung) gibt es eine Eigenschaft, die als Mittelwertsatz bezeichnet wird.

Es besagt, dass, wenn Sie einen Ball haben$B_R(x)$des Radius$R$zentriert bei$x$. Die Begrenzung dieser Kugel ist eine Kugel. Dann der Wert der harmonischen Funktion$\varphi$im Zentrum der Kugel ist durch einen Mittelwert dieser Funktion auf der Kugel gegeben:

$$\varphi(x)=\frac{1}{S_R}\int\limits_{\partial B_R(x)}\varphi\, dS$$ Wo $S_R$ist eine Oberfläche der Kugel, in 3-Dimensionen ist es $S_R=4\pi R^2$.

Sie können also davon ausgehen, dass der Wert in der Mitte des Würfels ungefähr gleich dem Mittelwert an seiner Grenze ist. Sie können jedoch auch erwarten, dass es einige Korrekturen geben sollte, da der Würfel keine Kugel ist. Ich schlage vor, den Beweis des Mittelwertsatzes für mögliche Erkenntnisse nachzuschlagen. Es wird im Wesentlichen aus der Identität von Green erhalten,

$$\int\limits_V(\varphi\Delta\psi-\psi\Delta\varphi)dx=\int\limits_{\partial V}\Big(\psi\frac{\partial}{\partial n}\varphi-\varphi\frac{\partial}{\partial n}\psi\Big)dS$$ nehmen $\psi=\frac{1}{r}$wofür $\Delta\psi=-4\pi\delta(x)$.

Hier ist die Antwort eines Wahrscheinlichkeitsforschers. Das Lösen der Laplace-Gleichung mit Randbedingungen ist äquivalent zum Lösen des folgenden Problems des „Spieleruntergangs“.

Ein Spieler hat eine Ausgangsposition${\bf x} \in \mathbb{R}^3$, und bewegt sich innerhalb der Region als (n isotrope) Brownsche Bewegung, bis sie die Begrenzung der Box trifft und die Bewegung beendet. Es gibt zwei Arten von Grenzflächen: die „gewinnenden“ Flächen, die das Potenzial 1 haben; und die "verlierenden" Gesichter, die Potenzial 0 haben.

Frage: Angesichts der Ausgangslage${\bf x}$, wie groß ist die wahrscheinlichkeit$P({\bf x})$dass der Spieler gewinnt – dh die Gewinnerseite(n) vor der Verliererseite(n) trifft?

Beobachtungen:

• Wenn${\bf x}$ist auf der Siegerseite, dann$P({\bf x})=1$.
• Wenn${\bf x}$ist dann auf der Verliererseite$P({\bf x})=0$.
• Wenn${\bf x}$irgendwo anders in der Box steht, dann zeigt das eine Wahrscheinlichkeitsrechnung$P$erfüllt die Laplace-Gleichung:$\Delta P=0$.

In Anbetracht dessen kehren wir mit zur ursprünglichen Frage zurück$V_0=1$. Der Spieler beginnt am Ursprung${\bf 0}$, und von den 6 Grenzflächen gewinnt 1 und 5 verliert. Leiten Sie das aus der Symmetrie (Isotropie) des Problems ab$P({\bf 0})=\frac{1}{6}$.

P.S.: Wenn${\bf x}\neq {\bf 0}$, die Ruinengeschichte des Spielers gilt immer noch, aber wir verlieren das Symmetrie-Argument, das uns ermöglicht hat, eine schnelle Antwort zu erhalten.