Betrachten Sie eine Transformation von kartesischen zu Polarkoordinaten( x , y) → ( r , θ )
,
x = r cos, _j= r Sünde. _
Hier bezeichnen wir
Xμ= ( x , y)
Und
X¯μ= ( r , θ )
. Nun, die Frage ist folgende,
ImXμ
Koordinatensystem sind die Komponenten des Geschwindigkeitsvektors(X˙,j˙)
. Finden Sie die Komponenten in den Polarkoordinaten mithilfe von Vektor-/Tensortransformationsregeln heraus.
Meine Antwort:
Aus der Koordinatentransformation haben wir
Dx = cosθ dr − r Sündeθ d, _Dj= Sündeθ dr + r cosθ d. _
Daher,
∂X∂R= cosθ =XR;∂X∂θ= − r Sündeθ = − y,∂j∂R= Sündeθ =jR;∂j∂θ= r cosθ = x .
Die transformierten Komponenten
v¯μ=v¯μ(Xa)
liest,
v¯μ=∂X¯μ∂Xβvβ
Jetzt für
μ = 1
,
v¯1=∂X¯1∂Xβvβ=∂X¯1∂X1v1+∂X¯1∂X2v2=∂R∂Xv1+∂R∂jv2= Sekθv1+ cscθv2=RXv1+Rjv2(1)
Jetzt für
μ = 2
,
v¯2=∂X¯2∂Xβvβ=∂X¯2∂X1v1+∂X¯2∂X2v2=∂θ∂Xv1+∂θ∂jv2= −1Rcscθv1+1RSekθv2= −1jv1+1Xv2(2)
X˙= cosθR˙− r Sündeθθ˙,j˙= SündeθR˙+ r cosθθ˙.
Nun berechnen wir die Geschwindigkeitskomponenten in den Polarkoordinaten mit Gleichungen (
1
) Und (
2
),
vR= SekθX˙+ cscθj˙= Sekθ ( cosθR˙− r Sündeθθ˙) +cscθ ( SündeθR˙+ r cosθθ˙)=R˙− r hellbraunθθ˙+R˙+ r Kinderbettθθ˙= 2R˙− r ( tanθ − Kinderbettθ )θ˙
vθ= −1RcscθX˙+1RSekθj˙= −1Rcscθ ( cosθR˙− r Sündeθθ˙) +1RSekθ ( SündeθR˙+ r cosθθ˙)= −1RKinderbettθR˙+θ˙+1RbräunenθR˙+θ˙= 2θ˙+R˙R( braunθ − Kinderbettθ )
Gegenwärtige Frage: Sind die obigen Gleichungen, die ich abgeleitet habe, korrekt? Sollte das nicht so etwas seinvR=R˙
Undvθ= rθ˙
? Wo gehe ich falsch? Hilfe bitte.
RW Vogel