Beziehung zwischen Ableitungen von Tensoren in verschiedenen kartesischen Koordinatensystemen

Question

Beziehung zwischen Ableitungen von Tensoren in verschiedenen kartesischen Koordinatensystemen

Lukas__

Ich bin neu in der Tensorrechnung: Ich lese ein kleines Einführungsbuch mit dem Titel "Quick Introduction to Tensor Analysis", geschrieben von RA Sharipov. Ich habe den Abschnitt Differenzierung von Tensorfeldern erreicht. Dort erklärt der Autor, wie die Tensoren unterschieden werden können, wobei zwei Fälle unterschieden werden:

in Bezug auf externe Parameter
in Bezug auf räumliche Variablen (als Argumente der Tensorfunktion verwendet)

bei der Erklärung des zweiten Falles wird ein Satz gesagt (der nur für kartesische Koordinatensysteme gilt): "for any tensor field $X$ des Typs $(r, s)$ partielle Ableitungen (21.3) nach räumlichen Variablen $x^1, x^2, x^3$ in jedem kartesischen Koordinatensystem ein anderes Feld darstellen $Y$ vom Typ (r, s+1)":

(21.3)

Y_{Q, J_{1}, \dots, J_{S}}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}} = \frac{\partial X_{J_{1}, \dots, J_{S}}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}}}{\partial X^{Q}} \Rightarrow Y_{Q, J_{1}, \dots, J_{S}}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}} = \nabla_{Q} X_{J_{1}, \dots, J_{S}}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}}

$Y^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = {\partial X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s} \over \partial x^q} \Rightarrow Y^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = \nabla_q X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s}$

Wo

\nabla_{Q} = \frac{\partial}{\partial X^{Q}}

$\nabla_q = {\partial \over \partial x^q}$

Es wird dann folgende Aufgabe vorgeschlagen: „Beweise den Satz. Betrachte dazu ein anderes kartesisches Koordinatensystem $\tilde{x}^1, \tilde{x}^2, \tilde{x}^3$ bezüglich $x^1, x^2, x^3$ über $x^i = S^i_j \tilde{x}^j + a^i$ Und $\tilde{x}^i = T^i_j x^j + \tilde{a}^i$ (Wo $a^i$ ist die i-te Komponente des Translationsvektors aus $O$ Zu $\tilde{O}$ Und $\tilde{a}^i$ ist die i-te Komponente des Translationsvektors aus $\tilde{O}$ Zu $O$ , $O$ Und $\tilde{O}$ die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme sind). Betrachten Sie dann im neuen Koordinatensystem die partiellen Ableitungen

{\tilde{Y}}_{Q, J_{1}, \dots, J S}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}} = \frac{\partial {\tilde{X}}_{J_{1}, \dots, J S}^{{ich}_{1}, \dots, {ich}_{R}}}{\partial {\tilde{X}}^{Q}}

$\tilde{Y}^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, js} = {\partial {\tilde{X}^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, js}} \over \partial \tilde{x}^q}$ und leiten Beziehungen ab, die diese obige partielle Ableitung und (21.3) binden.

Ich habe mich bemüht, eine Lösung für diese Übung zu finden, aber ich bin mir nicht einmal sicher, ob ich wirklich verstehe, worum es geht. Wer könnte mir helfen?

PS Noch eine Nebenfrage: könnte ich mir vorstellen $\nabla_q X^{i_1, \cdots, i_r}_{j_1, \cdots, j_s}$ als Produkt zweier Tensoren, von denen einer ist $\nabla_q$ ?

Antworten (1)

Beziehung zwischen Ableitungen von Tensoren in verschiedenen kartesischen Koordinatensystemen

Versuchen Sie es mit der Freiheit · Answer 1

Der Tensorausdruck hat unterschiedliche Realisierungen in verschiedenen Koordinatensystemen. Zum Beispiel der Ausdruck $T_{ij}$ hat die Transformationsregel:

T_{{ich}^{'} J^{'}} = T_{ich J} J_{{ich}^{'}}^{ich} J_{J^{'}}^{J}

$T_{i' j'} = T_{ij} J_{i'}^i J_{j'}^j$

Und ähnlich hat auch die Ableitung eine ähnliche Transformationsregel, nehme zum Beispiel eine Funktion, die in einem Koordinatensystem gegeben ist $f(x,y)$ dann in anderen Koordinaten als $f(r(x,y) , \theta(x,y) )$ Dann:

\frac{\partial F (X (R, θ), j (R, θ))}{\partial R} = \frac{\partial X}{\partial R} \partial_{X} F + \frac{\partial j}{\partial R} \partial_{j} F

$\frac{\partial f(x(r,\theta) , y(r ,\theta) )}{\partial r} = \frac{\partial x}{\partial r} \partial_x f + \frac{\partial y}{\partial r} \partial _y f$

Sie sehen, dass die Ableitungsregel auch transformiert. Allgemein:

\frac{\partial}{\partial X^{{ich}^{'}}} = J_{{ich}^{'}}^{ich} \frac{\partial}{\partial X^{ich}}

$\frac{\partial}{\partial x^{i' } } =J_{i'}^i \frac{\partial }{\partial x^i}$

Der Strich bezeichnet die neuen „indizierten“ Koordinaten. In der Übung müssen Sie also nur den Ausdruck für den transformierten Tensorausdruck in kartesischen Koordinaten einfügen und die Ableitung auswerten.

Notiz: $J_{i'}^i$ bezeichnet die Jacobi-Matrix. Wenn der Index höher ist, gibt es eine andere jakobische Transformationsregel.

Ich werde Pavels Notation verwenden, um dies herauszufinden, wir beginnen mit den gegebenen Gleichungen:

X^{{ich}^{'}} = T_{J}^{ich} X^{J} + A^{{ich}^{'}}

$x^{i'}= T_j^i x^j + a^{i'}$

Ich gehe davon aus, dass der Verschiebungsvektor konstant ist, und ich habe beide Seiten mit differenziert $x^p$ vorausgesetzt $T_j^i$ ist eine Konstante:

\frac{\partial X^{{ich}^{'}}}{\partial X^{P}} = T_{J}^{ich} \frac{\partial X^{J}}{\partial X^{P}}

$\frac{\partial x^{i'} }{\partial x^p} = T_j^i \frac{\partial x^j}{\partial x^p}$

Jetzt, $\frac{\partial x^j}{\partial x^p} = \delta_p^j$ und mit Kontraktion auf dem kronceker:

\frac{\partial X^{{ich}^{'}}}{\partial X^{P}} = T_{P}^{ich}

$\frac{\partial x^{i'} }{\partial x^p} = T_p^i$

Umbenennung von Indizes $( p \to i)$ und unter Hinweis auf die Definition von Jacobian:

J_{ich}^{{ich}^{'}} = T_{ich}^{{ich}^{'}}

$J_{i}^{i'} = T_{i}^{i'}$

In ähnlicher Weise können wir den inversen Jakobus finden $J_{i'}^i$ .. jetzt müssen nur noch die jakobischen Begriffe für die Transformation eingesetzt werden:

Y_{{ich}_{1}^{'}, {ich}_{2}^{'}, . . . {ich}_{N}^{'}}^{J_{1}^{'}, J_{2}^{'} . . ., J_{N}^{'}} = Y_{{ich}_{1}, {ich}_{2} . . ., {ich}_{N}}^{J_{1}, J_{2} . . ., J_{N}} J_{{ich}_{1}^{'}}^{{ich}_{1}} J_{{ich}_{2}^{'}}^{{ich}_{2}} . . . J_{{ich}_{N}^{'}}^{{ich}_{N}} J_{J_{1}^{'}}^{J_{1}} . . . J_{J_{N}^{'}}^{J_{N}}

$Y_{i_1',i_2',...i_n'}^{j_1',j_2'...,j_n'} = Y_{i_1,i_2...,i_n}^{j_1,j_2...,j_n} J_{i_1'}^{i_1} J_{i_2'}^{i_2}...J_{i_n'}^{i_n} J_{j_1'}^{j_1}... J_{j_n'}^{j_n}$

Ich möchte jedoch die gleiche Bemerkung machen wie das PDF hier:

Warnung 21.1. Satz 21.1 und die Gleichheit (21.5) gelten nur für kartesische Koordinatensysteme. Bei krummlinigen Koordinaten ist das anders.

Vielleicht finden Sie diese Frage von mir und Pavels Ansatz hier einfacher

Meine Formulierung war vielleicht schlecht. Wenn Sie jedoch können, versuchen Sie es mit Pavel Grinfelds Tensor-Kalkül-Buch. Er erklärt es besser als ich
Vielen Dank für Ihre Zeit und Mühe, mir zu antworten. Ich werde versuchen, Ihre Erklärung zu verwenden, um den Satz zu beweisen, und Sie bei anderen Problemen informieren. Noch etwas: Ich bin ein Gymnasiast, der daran interessiert ist, Physik der Oberstufe zu verstehen. Würden Sie empfehlen, das von Ihnen erwähnte Buch zu kaufen, um mehr über Tensoren zu verstehen? Ist es für einen Highschooler auf einem verlockbaren Niveau?
Hallo Freund, ich hatte auch einen ähnlichen Hintergrund, als ich anfing, und ich werde ja sagen! Begleitend zum Buch gibt es Vorträge. @Luke__ auf YouTube. Es gibt ein anderes Buch, das mir empfohlen wurde (aber ich habe noch nicht angefangen), das ich für gut hielt, es heißt John Baez Gauge Fields Nodes and Gravity. Ich habe es überflogen und es schien ziemlich einfach zu sein. Kommen Sie gerne in meinen Chat , wenn Sie weitere Informationen wünschen.
Nochmals vielen Dank für Ihre Unterstützung! Ich habe versucht, das Problem mit Ihrem Vorschlag fortzusetzen, und ich glaube, ich habe beweisen können, dass das neue Objekt, das durch Differenzieren des Tensors erhalten wird, tatsächlich ein neuer Tensor ist: $\tilde{Y}^{i_1, \cdots, i_r}_{q, j_1, \cdots, j_s} = (T^{i_1}_{h_1} \cdots T^{i_r}_{h_r} S^{k_1}_{j_1} \cdots S^{k_s}_{j_s} S^p_q) Y^{h_1, \cdots, h_r}_{p, k_1, \cdots, k_s}$ . Dies, denke ich, beweist, dass die Natur von $Y$ ist tensoriell, aber wie ist es möglich, das zu beweisen $Y$ hat eine Wertigkeit von $(r, s+1)$ , während $X$ ist vom Typ $(r, s)$ ?
Hallo, die Ableitung fügt dem Tensor@Luke_ einen weiteren Index hinzu. Ich habe das PDF jetzt überprüft, es ist die erste Aussage auf dieser Seite
Hallo Luke, ich habe die Antwort überarbeitet. Lassen Sie mich wissen, ob es Ihnen geholfen hat, das Problem jetzt vollständig zu lösen @Luke_
Entschuldigen Sie die Verspätung, mit der ich Ihnen zurückschreibe, ich hatte eine sehr dichte Gruppe von Tagen. Wie auch immer, ich habe Ihre Antwort noch einmal gelesen und sie sollte mir viel klarer sein. Danke nochmal.
PS Ich denke wirklich, dass ich das Buch, von dem Sie gesprochen haben, kaufen werde, auch weil ich vor einiger Zeit, ohne es zu wissen, auf Youtube über die Videoserie des Buchautors gestolpert bin. Damals fand ich es sehr schwer zu verstehen für jemanden, der sich zum ersten Mal mit Tensoren befasste. Ich hoffe, dass das Buch viel klarer und gesprächiger sein könnte.
Ah ja, in der Tat, ich habe einen meiner Freunde, der noch nie mit multivariablen Kalkülen gearbeitet hatte, davon überzeugt, dieses Buch auszuprobieren, und er hat es heute bis zum Kapitel geschafft. Ich bin sicher, es wird dir auch gefallen. Ich denke jedoch, dass die Formulierung der Differentialformen des Tensorkalküls besser ist. Schauen Sie sich diese Playlist an
Und übrigens, wenn irgendetwas in der Antwort nicht klar ist, kommentiere einfach und ich werde @Luke__ klären

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Lukas__

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