Metrischer Tensor in sphärischen Koordinaten mit Basisvektor?

Denken Sie daran, dass eine Basis eines Vektorraums nur (1) den Vektorraum überspannen muss und (2) linear unabhängig sein muss. Insbesondere muss eine Basis nicht orthogonal sein und schon gar nicht normiert sein. Und einer der gebräuchlichsten Basistypen (eine Koordinatenbasis) ist normalerweise nicht normalisiert.

Sie sind verwirrt, weil Sie normalerweise den metrischen Tensor in sphärischen Koordinaten als angegeben sehen

$$\begin{equation} \mathbf{g} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \end{pmatrix}. \end{equation}$$ Dies ist die Metrik in Bezug auf die Koordinatenbasis , während Sie die Metrik (richtig) in Bezug auf die orthonormalisierte Vektorbasis geschrieben haben – und es ist sehr wichtig, sich an den Unterschied zwischen diesen Arten von Basen zu erinnern. Ich erkläre es.

Schreiben wir die Koordinatenbasisvektoren als

$$\begin{equation} \mathbf{r}, \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\phi}. \end{equation}$$ (Beachten Sie, dass ich eine fette Schrift verwende, um anzuzeigen, dass dies Vektoren sind, aber ich setze aus Gründen, die bald klar werden, keine Hüte auf sie.) Diese Vektoren stellen den Betrag dar, den Sie durch den Raum bewegen würden, wenn Sie sich ändern würden die entsprechende Koordinate um einen bestimmten Betrag. Zum Beispiel, wenn$\mathbf{p}(r, \theta, \phi)$ist der Positionsvektor zum Punkt mit sphärischen Koordinaten$r, \theta, \phi$, dann sind diese Koordinatenbasisvektoren definiert als $$\begin{align} \mathbf{r} &= \frac{\partial \mathbf{p}} {\partial r} \\ \boldsymbol{\theta} &= \frac{\partial \mathbf{p}} {\partial \theta} \\ \boldsymbol{\phi} &= \frac{\partial \mathbf{p}} {\partial \phi}. \end{align}$$ Um das wieder auf Ihre Basis in kartesischen Komponenten zu beziehen, denken Sie daran $$\begin{equation} \mathbf{p} = r\sin\theta\cos\phi\, \hat{\mathbf{x}} + r\sin\theta\sin\phi\, \hat{\mathbf{y}} + r\cos\theta\, \hat{\mathbf{z}}, \end{equation}$$ die wir differenzieren können, um zu finden $$\begin{align} \mathbf{r} &= \sin\theta\cos\phi\, \hat{\mathbf{x}} + \sin\theta\sin\phi\, \hat{\mathbf{y}} + \cos\theta\, \hat{\mathbf{z}} \\ \boldsymbol{\theta} &= r\cos\theta\cos\phi\, \hat{\mathbf{x}} + r\cos\theta\sin\phi\, \hat{\mathbf{y}} - r\sin\theta\, \hat{\mathbf{z}} \\ \boldsymbol{\phi} &= -r\sin\theta\sin\phi\, \hat{\mathbf{x}} + r\sin\theta\cos\phi\, \hat{\mathbf{y}}. \end{align}$$ Mit diesen Ausdrücken ist es eine einfache Übung zu sehen, dass wir haben $$\begin{align} \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} &= 1 \\ \boldsymbol{\theta} \cdot \boldsymbol{\theta} &= r^2 \\ \boldsymbol{\phi} \cdot \boldsymbol{\phi} &= r^2 \sin^2 \theta. \end{align}$$ Diese Basis ist also nicht orthonormal – und daher kommen die „üblichen“ metrischen Komponenten, weshalb die Metrik nicht nur die Identität ist, wie Sie es erwartet haben. Tatsächlich ist normalerweise der einzige Koordinatentyp, der zu orthonormalen Basisvektoren führt, ein kartesisches Koordinatensystem (obwohl selbst kartesische Koordinaten in nichttrivialen Geometrien nicht orthonormal sind).

Auf der anderen Seite zeigt eine fast identische einfache Übung, dass Ihre Basis$(\mathbf{e}_r, \mathbf{e}_\theta, \mathbf{e}_\phi)$ ist orthonormal. Tatsächlich sehen wir das, wenn wir unsere Ausdrücke auf der kartesischen Basis vergleichen

$$\begin{align} \mathbf{r} &= \mathbf{e}_r \\ \boldsymbol{\theta} &= r\, \mathbf{e}_\theta \\ \boldsymbol{\phi} &= r\sin\theta\, \mathbf{e}_\phi. \end{align}$$ Auf einer orthonormalen Basis ist die Metrik – im Wesentlichen per Definition – nur die Identitätsmatrix, die Sie gefunden haben.