Eindeutigkeit affiner Verbindungen

Der Standardweg, um die Koeffizienten einer metrischen kompatiblen Verbindung zu erhalten, geht wie folgt. Das fordern wir erst einmal

$$\nabla_\mu g_{ab} = 0$$ für alle$\mu,a,b$. Das Einstecken der Verbindungskoeffizienten gibt uns das $$\nabla_\mu g_{ab} = \partial_\mu g_{ab} - \Gamma^i_{a\mu} g_{ib} - \Gamma^i_{b\mu} g_{ai}=0$$ Als nächstes permutieren wir die Indizes, um zwei zusätzliche Gleichungen zu erhalten: $$\nabla_b g_{\mu a} = \partial_b g_{\mu a} - \Gamma^i_{\mu b} g_{ia} - \Gamma^i_{ab} g_{\mu i}=0$$ $$\nabla_a g_{b\mu} = \partial_a g_{b\mu} - \Gamma^i_{ba} g_{i\mu} - \Gamma^i_{\mu a} g_{bi}=0$$

Für eine bestimmte Auswahl an$(\mu,a,b)$, haben wir hier drei Gleichungen mit sechs Unbekannten (den Verbindungskoeffizienten). Trotzdem können wir voranschreiten. Das Addieren der zweiten und der dritten Gleichung und das Subtrahieren der ersten ergibt

$$\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + 2\Gamma^i_{[a\mu]}g_{bi} + 2\Gamma^i_{[b\mu]}g_{ai} - 2\Gamma^i_{(ab)}g_{\mu i} = 0$$ Wo$\Gamma^i_{[ab]} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} - \Gamma^i_{ba}\right)$Und$\Gamma^i_{(ab)} \equiv \frac{1}{2}\left(\Gamma^i_{ab} + \Gamma^i_{ba}\right)$.

Dies kann neu angeordnet werden, um nachzugeben (unter Ausnutzung der Symmetrie von$g$)

$$\Gamma^i_{(ab)} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big) + \Gamma^i_{[a\mu]} + \Gamma^i_{[b\mu]}$$

Dies ist alles, was erreicht werden kann, wenn gefordert wird, dass die Verbindung metrisch kompatibel ist. Wir brauchen mehr Input, um die Verbindung eindeutig zu erhalten. Wenn wir fordern, dass die Verbindung torsionsfrei ist (dh symmetrisch in ihren unteren beiden Indizes), dann verschwinden die beiden Verbindungsterme auf der rechten Seite und die linke Seite wird einfach$\Gamma^\mu_{ab}$, und so

$$\Gamma^i_{ab} = \frac{1}{2}g^{i\mu}\big(\partial_a g_{b\mu} + \partial_b g_{\mu a} - \partial_\mu g_{ab}\big)$$

ermittelt aus der Metrik eindeutig die Verbindungskoeffizienten. Das ist die Levi-Civita-Verbindung. Jede andere metrisch kompatible Verbindung kann Torsion im Sinne einer Verbindung aufweisen$\Gamma$kann geschrieben werden

$$\Gamma^i_{jk} = \overline{\Gamma}^i_{jk} + K^i_{jk}$$

Wo$\overline{\Gamma}$ist die Levi-Civita-Verbindung und$K$ist der sogenannte Verzerrungstensor .