Was genau ist die Paritätstransformation? Parität in sphärischen Koordinaten

Wenn ich auf die Paritätstransformation in der Physik stoße, habe ich oft das Gefühl, dass es nicht wirklich klar ist, was wir tun, und ich möchte es genauer verstehen, können Sie mir dabei helfen? (Ich möchte es aus der Sicht sehen von Tensoren.) Ich höre immer, dass das elektrische Feld sein Vorzeichen ändert, oft als bezeichnet

(1) E → ' ( X → ' ) = − E → ( X → )

Ich nehme an, das bedeutet Folgendes: Es gibt ein Vektorfeld E → ( R → ) in einem euklidischen Vektorraum, R → ist der Positionsvektor (beide sind unabhängig von einem Koordinatensystem -> invariante Tensoren) und wir haben ein kartesisches Koordinatensystem gewählt, bei dem die {x,y,z}-Koordinaten gemessen werden, um in einer bestimmten Richtung zuzunehmen, was zu führt eine lokale (kovariante) Basis in jedem Raumpunkt gem

(2) e → ich ( X , j , z ) = ∂ ∂ X ich R → ( X , j , z )

(Diese Gleichung funktioniert natürlich auch in krummlinigen Koordinatensystemen, dann ändert sich die Basis von einem Punkt zum anderen, während sie in affinen Koordinaten wie dem kartesischen konstant sind.)

Nun erfolgt die Paritätstransformation durch das, was normalerweise als (x,y,z) -> (-x,-y,-z) bezeichnet wird. Ich denke, das bedeutet, dass wir jetzt ein zweites Koordinatensystem erstellen, in dem die {x',y',z'}-Koordinaten im Vergleich zum ungestrichenen System in genau der entgegengesetzten Richtung ansteigend gemessen werden. Dadurch werden die Basisvektoren (die sind kovariante Vektoren) des gestrichenen Systems so, dass sie in jedem Punkt in die entgegengesetzte Richtung zeigen. Jetzt können wir die invarianten E-Feld-Vektoren in jedem Punkt entweder in Bezug auf die nicht gestrichene oder die gestrichene Basis zerlegen und ihre kontravarianten Komponenten vergleichen. Und da für jeden Vektor v → wir haben

(3) v → = v ich e → ich = v ' ich e → ich '

dies bedeutet, dass die Komponenten die Beziehung haben

(4) E ' ich = − E ich

(Die ko- und kontravarianten Tensoren transformieren sich in diesem Fall auf die gleiche Weise)

Meine erste Frage wäre, ob Physiker das meinen, wenn sie eine Paritätstransformation durchführen und sagen, dass das E-Feld sein Vorzeichen ändert? (Ich denke, in diesem Fall würde es für jede Ladungskonfiguration gelten, aber betrachten wir eine Punktladung am Ursprung).

Wenn wir aber nicht mit einem kartesischen System, sondern mit Kugelkoordinaten beginnen und eine Paritätstransformation durchführen, Gl. (4) soll immer noch gelten (zumindest wenn ich richtig verstanden habe, was Wikipedia und andere Quellen meinen, wenn sie über den Vorzeichenwechsel sprechen, also korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege), was impliziert, weil (2) bezieht die Koordinatenlinien auf die Basisvektoren, dass im gestrichenen System nun der Radius zum Ursprung hin zunehmend gemessen wird, was nicht stimmt. (Oder doch?)

Meine zweite Frage ist: Wie sehen die Koordinatenlinien des Kugelsystems aus (wie sehen die gestrichenen Achsen im Vergleich zu den nicht gestrichenen aus?) nach der Paritätstransformation, und wie kann man sagen, dass das E-Feld sein Vorzeichen unter der Paritätstransformation ändert , ohne den Radius zum Ursprung hin zunehmend messen zu müssen? Ich meine, dass r am Ursprung Null ist, aber negativ wird, wenn wir nach außen gehen, weil dies erforderlich ist, um das zu machen e → R Vektoren zeigen nach (2) auf den Ursprung.

(Für eine Punktladung die einzige Nicht-Null E ich werden die Komponenten der e → R Basisvektoren, also ist nur die Ausrichtung der Radiuskoordinate von Bedeutung, oder?)

In der Literatur begegnet mir nur der Fall, dass die Winkel des sphärischen Koordinatensystems unter Parität transformiert werden und nicht der Radius und imo würde dies nicht zu einem Vorzeichenwechsel des E-Feldes führen.

Antworten (1)

Es stellt sich heraus, dass es sich um ein Vektorfeld handelt F → ( X , j , z ) ist am besten als eine lokale Richtungsableitung zu betrachten, die wir schreiben würden F = F → ⋅ ∇ , Skalarfelder nehmen F ( X , j , z ) und Erzeugen neuer Skalarfelder G ( X , j , z ) von ihnen. Wenn wir von diesem Ort aus starten

G ( X , j , z ) = F [ F ] ( X , j , z ) = F X ∂ F ∂ X + F j ∂ F ∂ j + F z ∂ F ∂ z
für Skalarfelder F X , j , z ( X , j , z ) , und wir definieren das G ^ ( X , j , z ) = G ( − X , − j , − z ) Und F ^ ( X , j , z ) = F ( − X , − j , − z ) , da die Paritätstransformation uns zur Ausführung auffordert, werden wir feststellen, dass die Kettenregel uns dies sagt ∂ X F ^ = − ∂ X F , und wir bekommen ein großes Minuszeichen auf der rechten Seite. Wir können dies korrigieren, wenn wir das definieren F ^ a ( X , j , z ) = − F a ( − X , − j , − z ) . Es gibt also sowohl ein Minuszeichen „innerhalb“ als auch „außerhalb“ der Klammern; das Innere kommt daher, dass F → müssen paritätstransformierte Eingänge verwendet werden, und der äußere kommt von der Tatsache, dass diese Reflexion tatsächlich die Richtung geändert hat F → selbst.

In sphärischen Koordinaten (ich nehme 0 ≤ θ < 2 π als azimutal während 0 ≤ φ ≤ π kommt vom Nordpol herunter) werden diese beiden Ideen ein wenig kompliziert; wir haben stattdessen

G ( R , θ , φ ) = F [ F ] ( R , θ , φ ) = F R ∂ F ∂ R + F θ 1 R Sünde ⁡ φ ∂ F ∂ θ + F φ 1 R ∂ F ∂ φ .
Unsere Paritätstransformation muss Breitengrade auf entgegengesetzte Breitengrade abbilden φ ↦ π − φ und muss auch einen Punkt um 180 Grad um den Globus drehen, θ ↦ θ + π . Unter dieser Zuordnung eigentlich Sünde ⁡ φ ↦ Sünde ⁡ φ , Es gibt also eine Art "doppeltes Negativ" darin Sünde Term und wir finden daher:
F R ( R , θ , φ ) ↦   + F R ( R , θ + π , π − φ ) , F θ ( R , θ , φ ) ↦   + F θ ( R , θ + π , π − φ ) , F φ ( R , θ , φ ) ↦   − F φ ( R , θ + π , π − φ ) .
Eine andere Möglichkeit, dies zu interpretieren, besteht darin, nur über die Einheitsvektoren an einem bestimmten Punkt im Raum nachzudenken. Denken Sie daran, dass, wenn wir krummlinige Koordinaten verwenden, diese Einheitsvektoren über den Raum selbst variieren, also anders X ^ , der Einheitsvektor in der X -Richtung, die in einem kartesischen Raum an allen Punkten gleich ist, dem Einheitsvektor R ^ ändert sich, um an allen Punkten im Raum vom Ursprung weg zu zeigen. Tatsächlich kann man ausrechnen, dass diese Einheitsvektoren sind:
R ^ =   + z ^   cos ⁡ φ + X ^   Sünde ⁡ φ cos ⁡ θ + j ^ Sünde ⁡ φ Sünde ⁡ θ θ ^ =   − X ^   Sünde ⁡ θ + j ^   cos ⁡ θ φ ^ =   − z ^   Sünde ⁡ φ + X ^   cos ⁡ φ cos ⁡ θ + j ^   cos ⁡ φ Sünde ⁡ θ

Wenn wir unseren Anfang im Raum reflektieren R ^ wird auf das Reflektierte abgebildet R ^ ; sie sind beide Einheitsvektoren, die vom Ursprung weg zeigen. Ebenso unser Start θ ^ wird auf das Reflektierte abgebildet θ ^ ; beide sind Einheitsvektoren, die nach "Westen" zeigen. Aber wenn wir reflektieren φ ^ , der überall auf der Kugel nach "Süden" zeigt, erhalten wir, dass der gespiegelte Vektor nach "Norden" zeigt, was seinem neuen Lokaleinheitsvektor entgegengesetzt ist. Also muss diese Komponente, und nur diese Komponente, das Minuszeichen aufnehmen.

danke für die antwort aber ich habs immer noch nicht. Erstens sehe ich den Punkt in dieser skalaren Darstellung des Vektorfelds nicht. Könnten Sie bitte erklären, warum Sie das tun? Ist es nicht sinnvoll, mit dem E-Vektorfeld zu arbeiten? Dann schreibst du, dass φ↦π−φ und θ↦θ+π. Ich sehe, dass mich dies von einem Punkt im euklidischen Raum zum reflektierten durch den Ursprung bringen wird, und ich habe diese Parameteränderung zuvor gesehen, aber ich verstehe nicht, warum dies dazu führen wird, dass das E-Feld seitdem ein Minuszeichen erhält Wir messen immer noch den Radius, um vom Ursprung weg zuzunehmen, und mit (2) bedeutet dies ...
... dass der kovariante Radiusbasisvektor unseres neuen Koordinatensystems an jedem Punkt im Raum in die gleiche Richtung zeigen wird wie der Radiusbasisvektor des ungestrichenen Systems und somit die Zerlegung des E-Feldes in beiden Systemen dasselbe ergibt Wert, da E immer parallel zum Radiusbasisvektor ist. Was impliziert, dass das E-Feld unter Parität invariant ist, was nicht der Konsens zu sein scheint?
Ist es überhaupt richtig, sich die Paritätstransformation als Transformation meines Koordinatensystems vorzustellen? in diesem Fall haben wir unterschiedliche Koordinatenlinien und Basisvektoren. Wie sehen sie aus? Und vergleichen wir die kontravarianten Komponenten des E-Felds vor und nach der Paritätstransformation, wenn wir sagen, dass das E-Feld ein Minuszeichen bekommt?
(a) Der beste Grund, warum dies die beste Art ist, über Vektorfelder nachzudenken, ist, dass es in gekrümmten Räumen sinnvoll ist: Das ist vielleicht nicht das, was Sie wollen. Hier ist eine intuitive Idee: zwei nahe Punkte im Raum ( X , j , z ) Und ( X + δ X , j + δ j , z + δ z ) sollte an diesem Punkt über diesen Verschiebungsvektor The Very Concept of Vector definieren [ δ X ; δ j ; δ z ] ; Unsere Definition von Vektor ist "alles, was sich wie dieser Vektor transformiert". Und das hilft vielleicht auch zu sehen, warum Vektoren invertieren müssen E → ↦ − E → unter der 3D-Paritätstransformation.
(b) Jetzt gibt es viele E → Felder und nicht alle werden unter der Paritätstransformation unveränderlich sein; Ich denke, Sie denken speziell an das elektrische Feld einer Punktladung am Ursprung. Aber wenn Sie diese Punktladung irgendwo anders platzieren, haben Sie keine Paritätssymmetrie. Verdammt, stell dir vor, du befindest dich in einem riesigen Kondensator E → = E 0   z ^ und dieses E-Feld invertiert auch unter der Paritätstransformation.
(c) Es stellt sich heraus, dass Sie sich Koordinatentransformationen auf zwei Arten vorstellen können, "aktiv" oder "passiv", ; Wir können uns die Paritätstransformation so oder so vorstellen. (d) Ja, wir können davon sprechen E → Feld erhält unabhängig von seinen Koordinaten ein Minuszeichen. Das ist es, was der obige Trick (ein Vektorfeld ist heimlich seine Richtungsableitung auf skalaren Feldern) erreicht. In dieser Ansicht Komponenten F X , j , z kommen aus der Anwendung auf verschiedene Skalarfelder X , j , z aber die Tatsache, dass F ^ = − F gilt unabhängig von den Komponenten.
Ich schätze, ich stimme allem zu, was Sie sagen, aber ich bin immer noch verwirrt. Ich weiß, dass es aktive und passive Transformationen gibt. Wenn wir also unser Koordinatensystem transformieren und das elektrische Feld so lassen, wie es ist, werden wir am Ende unterschiedliche Koordinatenlinien (ich meine Linien, auf denen eine Koordinate konstant bleibt oder besser: Kurven für sphärische Koordinaten.) Und unterschiedliche Basisvektoren bei jeder Punkt. Ich denke immer noch, dass wir (2) verwenden können, um die Basisvektoren zu bestimmen. Und da das gestrichene System nur Theta in der entgegengesetzten Richtung misst, aber nicht den Radius, ...
das bedeutet, dass in jedem Raumpunkt der r-Basisvektor des ungestrichenen Systems gleich dem des gestrichenen Systems ist. Und wenn wir uns die Punktladung im Ursprung vorstellen, hat das E-Feld nur radiale Komponenten. Also E'=E was jetzt Wikipedia sagt ( en.wikipedia.org/wiki/Parity_(physics)#Odd )
Und wenn ich E'=E sage, dann meine ich, dass die (kontravarianten) Komponenten des elektrischen Feldes, bezogen auf die Basis an diesem Punkt im Raum, in beiden Koordinatensystemen gleich sind, da die Basisvektoren gleich sind. In beiden Fällen ist die Zerlegung E = e/r^2 * er , wobei die Ladung e in geeigneten Einheiten ist und er der Basisvektor in radialer Richtung ist, wie durch (2) definiert. Übrigens meinte ich im Kommentar oben, dass es nicht das ist , was Wiki sagt.
Was genau ist die Paritätstransformation? Parität in sphärischen Koordinaten
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