Wie transformiert man den Materialpermittivitätstensor von kartesischen Koordinaten in ein anderes orthogonales Koordinatensystem?

Ich habe ein Material, das durch einen Permittivitätstensor angegeben ist, der in kartesischen Koordinaten geschrieben ist:

( ϵ X X ϵ X j ϵ X z ϵ j X ϵ j j ϵ j z ϵ z X ϵ z j ϵ z z )

Ich möchte alle meine Gleichungen in Zylinderkoordinaten schreiben und muss daher auch den Permittivitätstensor in Zylinderkoordinaten schreiben. Wie kann ich das machen?

Willst du den Tensor nur in Zylinderkoordinaten schreiben oder willst du auch die Komponenten in Zylinderbasisvektoren schreiben?
@Muphrid Ich möchte den transformierten Tensor in Maxwells Gleichungen verwenden. Für die Transformation, wenn die Komponenten Funktionen von waren ( X , j , z ) , dann reichte es nicht aus, nur zu schreiben X , j , z bezüglich ρ , θ , z , und einige kompliziertere Transformationen von Elementen des Tensors mussten durchgeführt werden.
Paisanco hat recht. Bitte beziehen Sie sich auf dieses Papier, das in JOSAa < hal.archives-ouvertes.fr/hal-00831552/file/… > veröffentlicht wurde

Antworten (1)

In zylindrischen Koordinaten würden die Tensorkomponenten aussehen

T R θ z = ( ϵ R R ϵ R θ ϵ R z ϵ θ R ϵ θ θ ϵ θ z ϵ z R ϵ z θ ϵ z z )  

Da beide Koordinatensysteme orthogonal sind, ist die Transformation Ihres kartesischen Tensors T X j z zu einem Tensor T R θ z würde durch gegeben werden

T R θ z = Q T T X j z Q

mit der Transformationsmatrix Q ist die gleiche Matrix, die Sie verwenden würden, um einen Vektor von einem kartesischen in einen zylindrischen zu transformieren, dh

Q = ( cos ⁡ θ Sünde ⁡ θ 0 − Sünde ⁡ θ cos ⁡ θ 0 0 0 1 )  

Und Q T ist die Transponierte von Q .

Beachten Sie, dass diese Diskussion davon ausgeht, dass das Ziel darin besteht, die nicht-kovarianten Maxwell-Gleichungen in zylindrischen Koordinaten zu lösen, wobei die spezielle Relativitätstheorie vernachlässigt wird. Eine allgemeinere Behandlung des Permittivitätstensors und seiner Transformation wäre notwendig, wenn die kovariante Form der Maxwell-Gleichungen gelöst werden soll

Dein Q geht von Einheitsvektorbasis zu Einheitsvektoren. Das ist in der Tensorrechnung normalerweise nicht der Fall. Denken Sie, dass es sich lohnt, darauf einzugehen?
Das OP muss die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten berechnen und die Divergenz, Curl und Laplace in Zylinderkoordinaten verwenden, um die Maxwell-Gleichungen zu lösen, aber die Frage war, wie der Tensor transformiert werden soll.
Das ist mir bewusst, aber ich rede von deinem Ausdruck für Q : Das elektrische Feld ist ein Covektorfeld, und daher sind die Basis-Covektoren die natürliche Basis, um es auszudrücken: R ^ , θ ^ / R , z ^ . Ihr Ausdruck für Q drückt das Feld nicht in Bezug auf diese Basis aus; es ist nicht falsch, aber ich denke, es ist eines Kommentars wert.
@Muphrid Ihr Standpunkt ist allgemeiner, aber das OP hat nicht gesagt, ob das Problem darin bestand, die kovarianten Maxwell-Gleichungen oder die dreidimensionale "Junior E & M" -Form zu lösen. Ich hatte letzteres aus dem Fragenkontext angenommen, vielleicht kann das OP etwas dazu sagen?
@Muphrid Meine Antwort wurde bearbeitet, um auf Ihre Punkte einzugehen, dass eine allgemeinere Behandlung erforderlich wäre, wenn die Gleichungen der Kovariante Maxwell gelöst werden.
@bogeyc Danke für die Antwort. Der Kontext ist Optik und Mikrowellentechnik. Also ich finde es in Ordnung. Was ist der Unterschied zu dem von Ihnen erwähnten Fall?
Wie transformiert man den Materialpermittivitätstensor von kartesischen Koordinaten in ein anderes orthogonales Koordinatensystem?
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