Formel für die Transparenz sehr dünner Metallschichten

Ich gebe Ihnen eine Beispielrechnung für eine Wellenlänge von 532 nm. Bei Refractiveindex.info finden wir, dass der komplexe Brechungsindex von Aluminium bei dieser Wellenlänge ist$n_1 = 0.938777 + 6.4195i$. Nehmen wir außerdem an, dass das Licht senkrecht zur Oberfläche einfällt, aus der Luft ($n_0=1$), und die Aluminiumschicht befindet sich auf einem Glassubstrat ($n_2 = 1.5$).

(Ich benenne die Materialien 0, 1 und 2 wie im Bild unten :)

An jeder Grenzfläche haben Sie den Fresnel-Amplitudenreflexionskoeffizienten:

$r_{jk} = \frac{n_j - n_k}{n_j + n_k}$

Beachten Sie, dass diese Formel für normale Inzidenz vereinfacht ist. Beachten Sie auch das$r_{kj} = -r_{jk}$und der Transmissionskoeffizient$t_{jk} = 1 + r_{jk}$(Allerdings nur für senkrechte Polarisation ... aber die Berechnung für parallele Polarisation ist ähnlich.)

Während der Ausbreitung durch das Aluminium erfährt das Feld eine Phasenverzögerung und Dämpfung (die ich zu der komplexen Konstante kombinieren werde$\delta$, gleich$e^{ik_1d_1}$, Wo$d_1$ist die Dicke der Aluminiumschicht und$k_1$ist die Wellenzahl in der Aluminiumschicht,$k_1 = 2\pi n_1 / \lambda$.

Also, um die Übertragung zu berechnen$T=|E_\text{out}|^2/|E_\text{in}|^2$Wir haben mehrere Beiträge, die wir summieren müssen, während wir ihre Phase beibehalten. Wir haben einen Beitrag aus der Direktübertragung,

$t_{01} \delta t_{12}$,

ein Beitrag, der durch das Aluminium einmal hin und her reflektiert wird,

$t_{01} \delta r_{12} \delta r_{10} \delta t_{12}$,

ein Beitrag, der zweimal hin und her geht,

$t_{01} \delta r_{12} \delta r_{10} \delta r_{12} \delta r_{10} \delta t_{12}$,

usw.

Die Summe dieser Beiträge beträgt

$\frac{E_\text{out}}{E_\text{in}} = t_{01} t_{12} \delta \sum_{k=0}^\infty (r_{12} \delta r_{10} \delta)^k = (1+r_{01})(1+r_{12})\delta \sum_{k=0}^\infty (-r_{01}r_{12}\delta^2)^k$,

und dies ist eine geometrische Reihe, also wird es

$\frac{E_\text{out}}{E_\text{in}} = \frac{(1+r_{01})(1+r_{12})\delta}{1 + r_{01}r_{12}\delta^2}$,

So

$T=\left|\frac{(1+r_{01})(1+r_{12})e^{ik_1d_1}}{1 + r_{01}r_{12}e^{2ik_1d_1}}\right|^2$.

Beachten Sie, dass Sie möglicherweise multiplizieren müssen$T$um einen Faktor von$n_2/n_0$, ich mache das aus dem Gedächtnis und kann mich nie daran erinnern, ob Sie das tun müssen oder nicht. (Hoffentlich habe ich keine weiteren Fehler gemacht... ;-)

Hier ist ein Diagramm, das ich für 532 nm berechnet habe:

Diese 40 % treten also bei etwa 3 nm Dicke auf. Sie werden es schwer haben, eine Aluminiumfolie dieser Dicke zu bekommen, wie John Rennie betont. Sie werden auch, wie ich zu meinem Nachteil festgestellt habe, feststellen, dass die optischen Eigenschaften von Dünnschicht-Aluminium ganz anders sind als die von massivem Aluminium, auf dem diese Berechnung basiert. Hier sind ein paar Referenzen: (1) (2) . Das zweite ist Open Access. Ich wähle ein Auswahlzitat aus der Einführung des ersten:

Es ist allgemein bekannt, dass sich die optischen Eigenschaften von ultradünnen Metallfilmen von denen von massivem Metall unterscheiden. Dies wurde am dramatischsten für den Al-Film beobachtet.

Die Auswahl einer Aluminiumfolie mit 40 % Transmission ist also nicht so einfach, wie Sie vielleicht denken.

Alle Metalle haben eine „Hauttiefe“. Dies ist die Tiefe, bis zu der elektromagnetische Strahlung in das Metall eindringen kann. (Ein perfekter Dirigent hätte eine Skin-Tiefe von Null, ein wirklich mieser hätte eine lange Skin-Tiefe.)

Sie fragen nach der Entfernung, in der 60% des Lichts absorbiert wurden. Also schreiben wir:

Und natürlich hängt die Hauttiefe von der Frequenz ab. Lassen Sie uns also nach der Skin-Tiefe von Aluminium googeln und verschiedene Websites finden, darunter: „Optische Eigenschaften von Al. Das sollte Ihnen den Einstieg erleichtern.

Schauen Sie sich meine Antwort auf Machen Sie einen halbtransparenten Spiegel mit Kupfer an

Obwohl es sich bei der Frage um ein anderes Metall handelt, ist das Prinzip dasselbe. Beachten Sie jedoch, dass eine Transmission von 40 % einen sehr dünnen Film erfordert, und bei diesen Dicken neigt der Film dazu, Metallinseln mit Hohlräumen dazwischen zu bilden. Dies verursacht eine gewisse Abweichung von einem einfachen Exponentialgesetz.