Wie kommt epsilon in den Exponenten für Licht?

In der Welt der Optik , wenn Licht (angenommen als ebene elektromagnetische Welle mit komplexer Wellenzahl k 0 ),

E = E 0 ⋅ e ich ( k X − ω T )
wandert von einem Medium (z. B. Vakuum) in ein anderes (gekennzeichnet durch Index M , zB einige Glas), ändert sich seine Wellenlänge von λ 0 Zu λ M und es ist gedämpft. Wir beschreiben das mit dem Brechungsindex N ~ des Mediums M :
N ~ = N + ich κ
Die komplexe Wellenzahl im Medium ist dann k M = k 0 ⋅ N ~ . Das gibt
E = E 0 ⋅ e − 2 π λ 0 ⋅ κ ⋅ e ich ( 2 π λ M X − ω T )
wobei die erste e-Funktion die Dämpfung beschreibt und wir die veränderte Wellenlänge sehen λ M innerhalb des Mediums im zweiten Exponenten, also insgesamt eine gedämpfte Welle unterschiedlicher Wellenlänge.

Der komplexe Brechungsindex besteht im Wesentlichen aus der (komplexen) relativen Permittivität ϵ R :

N ~ = ϵ R μ R ≈ ϵ R
(für μ R ≈ 1 , was meines Erachtens für die meisten dielektrischen Materialien bei Frequenzen im sichtbaren Spektralbereich gilt).

Jetzt, in der elektromagnetischen Welt , wenn ein E-Feld in ein Medium der Permittivität eintritt ϵ R , dann das Verschiebungsfeld D Ist

D = ϵ 0 ϵ R E
und wie in Wikipedia ( https://en.wikipedia.org/wiki/Permittivity ) besprochen , führt die Permittivität zu einer Dämpfung und einer Phasendifferenz dazwischen D Und E , was meiner Meinung nach die Ursache für die Wellenlängenänderung ist, die durch den Realteil des Brechungsindex in der Welt der Optik beschrieben wird (bitte korrigieren Sie mich, wenn das falsch ist)?

In dieser Gleichung ist die Permittivität nur ein Faktor für E , während es in der Welt der Optik als Teil des Brechungsindex im Exponenten steht. Aber beide Ansichten müssen konsistent sein... Wie kommt also die Permittivität in den Exponenten?

Antworten (1)

Wie bei so vielen Aspekten der Elektrodynamik können wir die Dinge verdeutlichen, indem wir zu den Maxwell-Gleichungen zurückkehren.

In Ermangelung kostenloser Gebühren gehorchen die Felder in einem Medium

(1) ∇ → ⋅ D → = 0 (2) ∇ → ⋅ B → = 0 (3) ∇ → × E → + ∂ B → ∂ T = 0 (4) ∇ → × H → − ∂ D → ∂ T = 0
Für ein isotropes, lineares, nicht magnetisches, nicht dispersives Medium sind die Gleichungen (1) und (4) äquivalent zu (jeweils)
(5) ∇ → ⋅ E → = 0 (6) ∇ → × B → − μ 0 ϵ 0 ϵ R ∂ E → ∂ T = 0.
Wenn man die zeitliche Ableitung dieser letzten Gleichung nimmt und sie mit (3) und (5) kombiniert, erhält man
∇ 2 E → − ϵ R C 2 ∂ 2 E → ∂ T 2 = 0 ,
wo wir uns identifiziert haben μ 0 ϵ 0 = 1 / C 2 .

Wir können sehen, dass dies eine Wellengleichung mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit von ist C / ϵ R . Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit, mit der sich Wellen ausbreiten, von der Permittivität des Mediums beeinflusst wird, und Sie erhalten am Ende ein ϵ R "im Exponenten", wenn Sie sich eine ebene Wellenlösung ansehen.

Auf physikalischer Ebene passiert hier (grob) das Magnetfeld B → reagiert sowohl auf das sich ändernde elektrische Feld als auch auf die Polarisationsströme ( J → D ≡ ∂ P → / ∂ T , was gleich ist ϵ 0 χ e ∂ E → / ∂ T für ein lineares Medium). Aus Gl. (6), können wir sehen, dass die räumliche Skala der Variation von B → wird für eine gegebene zeitliche Änderungsrate von abnehmen E → . (Angenommen χ e > 0 , was das impliziert ϵ R > 1 .) Mit anderen Worten, k erhöht sich für eine feste ω , was zu einer Phasengeschwindigkeit führt ω / k das ist niedriger.

vielen dank für diese nette antwort! Ich musste über den letzten Absatz nachdenken, aber ich glaube, ich habe es jetzt verstanden: In Gl. 6 bleibt dE/dt konstant, wenn das Photon in ein anderes optisches Medium eintritt, da die Frequenz konstant bleibt. Wie auch immer, wenn ϵ R zunehmen, wird der gesamte Term mit dE/dt zunehmen, und somit muss rot(B) zunehmen. Da rot B räumliche Ableitungen enthält, nimmt die Änderung von B mit der Entfernung zu, dh B rotiert schneller, aber der Wirbel ist kleiner. Und damit ist die Wellenlänge kleiner (rotierendes B erzeugt wiederum ein E-Feld, so breitet sich Licht aus...). Ist das korrekt?
@CharlesTucker3: Ja, darauf wollte ich im letzten Absatz auf handgewellte Weise hinaus.
Wie kommt epsilon in den Exponenten für Licht?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v