Ableitung von Jefimenkos Gleichung in Jacksons EMT-Buch

Question

Ableitung von Jefimenkos Gleichung in Jacksons EMT-Buch

Wesnog

Ich habe versucht, die Ableitung von Jefimenkos Gleichung in Jackson auf S. 246-247 zu verstehen, die auf den beigefügten Fotos zu sehen ist. Zunächst einmal habe ich die Transformation zwischen den beiden Notationen mit eckigen Klammern nicht ganz verstanden, eine mit dem ∇' innerhalb der eckigen Klammern und eine außerhalb davon. Wie wird das Minus/Plus in den Gleichungen (6.53 und 6.54) ausgewählt? Außerdem wird nach der Transformation von Gl. (6.54) und Substitution in Gl. (6.52) die partielle Integration auf den ersten Term (den mit der Locke) angewendet und es gibt tatsächlich zwei Terme und einer wird ohne Begründung vernachlässigt. Ich würde mich freuen, wenn jemand das begründen könnte. Die Umformung ist wie folgt:

\nabla^{'} \times (\frac{\vec{J}}{R}) = \frac{\vec{J} \times (\nabla^{'} R) + R \nabla^{'} \times \vec{J}}{R^{2}}

$\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})=\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)+R\nabla'\times \vec{J}}{R^2}$ Somit

\frac{\nabla^{'} \times \vec{J}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{J}}{R}) - \frac{\vec{J} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Aber anscheinend wird der erste Term auf der rechten Seite in Gl. (6.56) vernachlässigt, gibt es dafür eine Rechtfertigung?

EDIT Nach der Substitution erhalten Sie den Begriff auf der linken Seite. Wir transformieren diesen Term unter Beachtung der Identitäten des Vektorkalküls (ich habe es in Tensornotation bewiesen und das Ergebnis übrigens in Griffiths überprüft), dann kommen wir zu zwei Termen und bei der Integration zum ersten Term auf der rechten Seite $\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})$ in 6.56 vernachlässigt . Ich frage mich, wie Sie diese Vernachlässigung rechtfertigen können.

\frac{\nabla^{'} \times \vec{J}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{J}}{R}) - \frac{\vec{J} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$ Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

gautam1168

Die erste Frage, die Sie gestellt haben, habe ich beantwortet. Aber ich kann nicht verstehen, wie die Integration nach Teilen funktioniert. Können Sie zeigen, wie die partielle Integration erfolgt und was die beiden Begriffe sind?

Wesnog

@gautam1168 Danke für deine Antwort. Bei der partiellen Integration für das Magnetfeld setzt man 6.54 in 6.52 ein , im Text auch als vorläufige Lösung bezeichnet. Ich bearbeite die Frage, um den Begriff anzugeben, den Sie erhalten.

gautam1168

Ich kann es auch nicht nachvollziehen. Mal sehen, ob das noch jemand beantworten kann. Ich werde es in der Zwischenzeit weiter versuchen.

Wesnog

@ gautam1168 Sie können meine neueste Antwort überprüfen, wenn Sie interessiert sind.

Antworten (2)

Ableitung von Jefimenkos Gleichung in Jacksons EMT-Buch

Die erste Frage, die Sie gestellt haben, habe ich beantwortet. Aber ich kann nicht verstehen, wie die Integration nach Teilen funktioniert. Können Sie zeigen, wie die partielle Integration erfolgt und was die beiden Begriffe sind?
@gautam1168 Danke für deine Antwort. Bei der partiellen Integration für das Magnetfeld setzt man 6.54 in 6.52 ein , im Text auch als vorläufige Lösung bezeichnet. Ich bearbeite die Frage, um den Begriff anzugeben, den Sie erhalten.
Ich kann es auch nicht nachvollziehen. Mal sehen, ob das noch jemand beantworten kann. Ich werde es in der Zwischenzeit weiter versuchen.
@ gautam1168 Sie können meine neueste Antwort überprüfen, wenn Sie interessiert sind.

gautam1168 · Answer 1

Die eckige Klammertransformation

Dies ist nur die Anwendung der Kettenregel. Die LHS bedeutet eine Ableitung über die gestrichenen Ortskoordinaten, während die nicht gestrichenen Orts- und Zeitkoordinaten fest gehalten werden.

\nabla^{'} [ρ (X^{'}, T^{'})]_{R e T} = (\sum_{ich} \frac{\partial}{\partial X_{ich}^{'}} \hat{ich}) [ρ (X_{ich}^{'}, X_{J}^{'}, X_{k}^{'}, T^{'})]_{R e T}

$\nabla'[ \rho(\mathbf{x'},t')]_{ret} = \left(\sum_i \frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}\right)[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Aber die

ρ

$\rho$ ist auch eine Funktion der gestrichenen Zeitkoordinate. Der Gradientenoperator muss also mit der Kettenregel angewendet werden.

= {\sum_{ich} (\frac{\partial X_{ich}^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{ich}^{'}} + \frac{\partial X_{J}^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{J}^{'}} + \frac{\partial X_{k}^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \frac{\partial}{\partial X_{k}^{'}} + \frac{\partial T^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}) \hat{ich}} [ρ (X_{ich}^{'}, X_{J}^{'}, X_{k}^{'}, T^{'})]_{R e T} = {\sum_{ich} (\frac{\partial}{\partial X_{ich}^{'}} + 0 + 0 + \frac{\partial T^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \frac{\partial}{\partial T^{'}}) \hat{ich}} [ρ (X_{ich}^{'}, X_{J}^{'}, X_{k}^{'}, T^{'})]_{R e T}

$=\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial x_i'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_i'} + \frac{\partial x_j'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_j'} + \frac{\partial x_k'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial x_k'} + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\ =\left \lbrace \sum_i \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} + 0+ 0 + \frac{\partial t'}{\partial x_i'}\frac{\partial }{\partial t'}\right) \hat{i}\right\rbrace[\rho(x_i',x_j',x_k',t')]_{ret}\\$ Also werden die gestrichenen räumlichen Ableitungen genommen, während das gestrichene t konstant gehalten wird.

= {(\frac{\partial}{\partial X_{ich}^{'}} \hat{ich} + \frac{\partial}{\partial X_{J}^{'}} \hat{J} + \frac{\partial}{\partial X_{k}^{'}} \hat{k}) + (\frac{\partial T^{'}}{\partial X_{ich}^{'}} \hat{ich} + \frac{\partial T^{'}}{\partial X_{J}^{'}} \hat{J} + \frac{\partial T^{'}}{\partial X_{k}^{'}} \hat{k}) (\frac{\partial}{\partial T^{'}})} [ρ]_{R e T} = [\nabla^{'} ρ]_{R e T} + \nabla^{'} (T^{'}) {[\frac{\partial ρ}{\partial T^{'}}]}_{R e T}

$=\left \lbrace \left(\frac{\partial }{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial }{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial }{\partial x_k'} \hat{k}\right) + \left(\frac{\partial t'}{\partial x_i'} \hat{i}+\frac{\partial t'}{\partial x_j'} \hat{j}+\frac{\partial t'}{\partial x_k'} \hat{k}\right)\left(\frac{\partial }{\partial t'}\right) \right \rbrace[\rho]_{ret}\\ =[\nabla'\rho]_{ret} + \nabla'(t')\left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret}$

Bei dem die $\nabla'$ wirkt beim Halten $t'$ fest und die Ableitung bzgl $t'$ wird aufgenommen, während grundierte räumliche Koordinaten fest gehalten werden. So,

[\nabla^{'} ρ]_{R e T} = \nabla^{'} [ρ]_{R e T} - {[\frac{\partial ρ}{\partial T^{'}}]}_{R e T} \nabla^{'} (T - R / C)

$[\nabla' \rho]_{ret} = \nabla'[\rho]_{ret} - \left[\frac{\partial \rho}{\partial t'}\right]_{ret} \nabla'(t-R/c)$

Wesnog · Answer 2

\frac{\nabla^{'} \times \vec{J}}{R} = \nabla^{'} \times (\frac{\vec{J}}{R}) - \frac{\vec{J} \times (\nabla^{'} R)}{R^{2}}

$\frac{\nabla'\times \vec{J}}{R}=\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})-\frac{\vec{J}\times(\nabla'R)}{R^2}$

Dank Prof. YF Chen konnte ich es herausfinden. Während im Integral der erste Term auf der rechten Seite wie folgt in ein Oberflächenintegral umgewandelt werden kann:

\int \nabla^{'} \times (\frac{\vec{J}}{R}) D^{3} X^{^{'}} = \oint (\vec{N} \times \frac{\vec{J}}{R}) D^{2} X^{^{'}}

$\int\nabla'\times(\frac{\vec{J}}{R})d^3x^{'}=\oint(\vec{n}\times\frac{\vec{J}}{R})d^2x^{'}$

Da die Integration im ganzen Raum stattfindet und die Stromquelle im Unendlichen verschwindet, ist das Oberflächenintegral dieses Terms, also das Volumenintegral, Null. Die Begründung lautet wie folgt:

\int (\partial_{ich} A_{J} - \partial_{J} A_{k}) D^{3} X^{^{'}} = \int (N_{ich} A_{J} - N_{J} A ich) D^{2} X^{^{'}}

$\int(\partial_iA_j-\partial_jA_k)d^3x^{'}=\int (n_iA_j-n_jAi)d^2x^{'}$

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