Faradaysches Gesetz aus Lorentzkraft bei bewegtem Leiterstab: Wie müssen die Vektoren orientiert sein?

Question

Faradaysches Gesetz aus Lorentzkraft bei bewegtem Leiterstab: Wie müssen die Vektoren orientiert sein?

Sorën

Ich bin verwirrt darüber, wie ich in der folgenden Situation das Faraday-Gesetz von Lorentz Force erhalten kann.

Stellen Sie sich einen leitenden Stab vor, der sich mit Geschwindigkeit bewegt $\bf{v}$ in einem gleichförmigen (konstanten) Magnetfeld $\bf{B}$ .

Ich denke, es gibt zwei Vektoren, die für den Stab gewählt werden müssen: der Linienvektor $\bf{ds}$ und der Normalenvektor $\hat{\bf{n}}$ .

Ich habe die beiden Vektoren auf zwei verschiedene Arten orientiert, aber nur im ersten Fall komme ich zum Gesetz

e m f = - \frac{d Φ (B)}{d t}

$\mathrm{emf}=-\frac{\mathrm{d} \Phi(\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

korrekt (dh mit dem Minuszeichen).

Ich werde die Argumentation in den beiden Fällen zeigen.

In beiden Fällen ist die Lorentzkraft

F_{L} = q (v \times B)

$\bf{F_L}=\mathrm{q} (\bf{v} \times \bf{B})$

Was einem Feld entspricht

E_{L} = v \times B

$\bf{E_L}=\bf{v} \times \bf{B}$

Um die zu bekommen $\mathrm{emf}$ Ich berechne das folgende Integral

\begin{matrix} (*) & e m f = \int_{r Ö d} v \times B \cdot d s = \int_{r Ö d} d s \times v \cdot B = \int_{r Ö d} d s \times \frac{d l}{d t} \cdot B = B \cdot \frac{d}{d t} \int_{r Ö d} d s \times d l \end{matrix}

$\mathrm{emf}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{v} \times \bf{B} \cdot \bf{ds}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{v} \cdot \bf{B}=\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \frac{\mathrm{d}\bf{l}}{\mathrm{dt}} \cdot \bf{B}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}\tag{*}$ Woher

d l

$\bf{dl}$ ist die infinitesimale Verschiebung in Richtung von

v

$\bf{v}$ .

Definiere einen Vektor $\bf{dS}$ die den infinitesimal orientierten Bereich als darstellen

d S = | | d s \times d l | | \hat{n}

$\bf{dS}=||\bf{ds} \times \bf{dl}||\,\,\, \hat{\bf{n}}$

Und lass $\bf{S}$ sei der gesamte orientierte Bereich, das heißt

S = \int | | d s \times d l | | \hat{n}

$\bf{S}=\int ||\bf{ds} \times \bf{dl}||\,\,\, \hat{\bf{n}}$

Die beiden Fälle (mit unterschiedlicher Ausrichtung z $\hat{\bf{n}}$ und $\bf{ds}$ ) sind anders, wenn ich weiter am Ausdruck arbeite $(*)$ .

Fall 1

Lassen Sie die Vektoren wie im Bild orientiert sein

In diesem Fall

d s \times d l = - d S

$\bf{ds} \times \bf{dl}=-\bf{dS}$

Deshalb

e m f = B \cdot \frac{d}{d t} \int_{r Ö d} d s \times d l = - B \cdot \frac{d}{d t} S = - \frac{d}{d t} (B \cdot S) = - \frac{d Φ (B)}{d t}

$\mathrm{emf}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}=-\bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bf{S}=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\bf{B} \cdot \bf{S})=-\frac{\mathrm{d\Phi} (\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

Fall 2

Lassen Sie die Vektoren wie im Bild orientiert sein

In diesem Fall

d s \times d l = + d S

$\bf{ds} \times \bf{dl}=+\bf{dS}$

Deshalb

e m f = B \cdot \frac{d}{d t} \int_{r Ö d} d s \times d l = + B \cdot \frac{d}{d t} S = + \frac{d}{d t} (B \cdot S) = + \frac{d Φ (B)}{d t}

$\mathrm{emf}= \bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}\int_{\mathrm{rod}} \bf{ds} \times \bf{dl}=+\bf{B} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \bf{S}=+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}}(\bf{B} \cdot \bf{S})=+\frac{\mathrm{d\Phi} (\bf{B})}{\mathrm{dt}}$

Im Fall 2 bekomme ich nicht das richtige Minuszeichen: woran kann das liegen? Stimmt etwas nicht mit dem, was ich versucht habe? Gibt es insbesondere eine Regel, für die es nicht richtig ist, die Vektoren wie in Fall 2 ausgerichtet zu setzen?

Rosa

Ihre beiden Ansätze sind korrekt. Das Vorzeichen spiegelt nur das Lenz-Gesetz wider. Die EMK wird in die entgegengesetzte Richtung induziert, in der der Fluss zunimmt. Versuchen Sie, die Richtung aus beiden von Ihnen abgeleiteten Beziehungen zu bestimmen. Sie werden ähnliche Ergebnisse erhalten.

Antworten (3)

Faradaysches Gesetz aus Lorentzkraft bei bewegtem Leiterstab: Wie müssen die Vektoren orientiert sein?

Ihre beiden Ansätze sind korrekt. Das Vorzeichen spiegelt nur das Lenz-Gesetz wider. Die EMK wird in die entgegengesetzte Richtung induziert, in der der Fluss zunimmt. Versuchen Sie, die Richtung aus beiden von Ihnen abgeleiteten Beziehungen zu bestimmen. Sie werden ähnliche Ergebnisse erhalten.

Newton · Answer 1

Bevor ich Ihre Frage beantworte, möchte ich auf ein paar "technische" Fehler in Ihrem Beweis hinweisen.

Die magnetische Kraft auf jede Ladung ist: F=q( vx B ). Dabei ist v die Nettogeschwindigkeit der Ladung. In Ihrem Beweis haben Sie die Geschwindigkeit des Stabes verwendet, was falsch ist, da sich die Ladungen auch in Bezug auf den Stab bewegen. Diese Geschwindigkeit sei u . Die Nettogeschwindigkeit der Ladungen ist also v + u . Aber zum Glück spielt der Fehler keine Rolle, da u und ds in die gleiche Richtung gehen und nichts zum Kreuzprodukt beitragen.
Der magnetische Fluss wird durch eine Oberfläche berechnet, die durch eine geschlossene Schleife begrenzt ist. In Ihrem Fall sind die Drähte die geschlossene Schleife und die imaginäre Oberfläche der von der Schaltung eingeschlossene Bereich. Die EMK im Faradayschen Gesetz bezieht sich auf die elektromotorische Nettokraft, die in der geschlossenen Schleife erzeugt wird, die in diesem Fall die GESAMTE Schaltung ist. Was ich versuche zu sagen, ist, dass Ihr Integral entlang der gesamten geschlossenen Schleife berechnet werden sollte und nicht nur durch den Teil, in dem sich die Stange befindet (setzen Sie einen Kreis auf Ihr Integralzeichen). Aber noch einmal, da sich der Rest der Schaltung nicht bewegt, ist das, was Sie getan haben, nicht falsch. Die gesamte Flussänderung ist nur auf die sich bewegende Stange zurückzuführen.

Um Ihre Frage so einfach wie möglich zu beantworten, läuft alles auf die Zeichenkonvention hinaus .

Mein zweiter Punkt oben ist von besonderer Bedeutung, damit Sie die Antwort verstehen. Sehen Sie sich das Bild unten an. Ich habe die beiden möglichen Richtungen des Vektors ds , den entsprechenden Integrationssinn über die gesamte Schaltung und jeweils die Richtung des Flächenvektors gezeigt. Beachten Sie, dass die Richtung des Bereichsvektors gemäß der "rechten Daumenregel" (ein Name, den ich mir ausgedacht habe) genommen werden sollte. Krümmen Sie die Finger Ihrer rechten Hand in Ihre bevorzugte Integrationsrichtung. Ihr Daumen zeigt in die Richtung des Bereichsvektors jedes elementaren Bereichs (alle haben die gleiche Richtung, da Ihr Aufbau planar ist).

In beiden Fällen können Sie sehen, dass die richtige Richtung durch vx ds angegeben wird . Mach weiter und du bekommst dein Minuszeichen.

Danke für die Antwort, aber hier gibt es keinen Schaltkreis , es ist nur ein Metallstab, der sich in einem Magnetfeld bewegt. Im Stab fließt kein stationärer Strom, sondern es entsteht nur eine Potentialdifferenz an den Stabextremen. Und das ist der Punkt: Wenn es keinen Schaltkreis gibt, macht die Regel des "rechten geschweiften Daumens" nicht viel Sinn. Oder gibt es vielleicht eine Möglichkeit, die Regel auch dann anzuwenden, wenn kein Schaltkreis vorhanden ist?
Wenn es keine geschlossene Schleife gibt, kann das Faradaysche Gesetz NICHT verwendet werden. Das Faradaysche Gesetz bezieht die in einem GESCHLOSSENEN SCHLEIFEN erzeugte EMK auf die Änderungsrate des magnetischen Flusses durch die von ihm begrenzte Oberfläche. Beachten Sie, dass die Schleife imaginär sein kann (muss nicht aus irgendeinem physischen Material bestehen) und jede Form haben, solange sie geschlossen und kontinuierlich ist. Aber Sie müssen vorher eine solche Schleife definieren, bevor Sie das Faradaysche Gesetz anwenden. Da es keinen Stromkreis gibt, können Sie sich gerne einen hypothetischen geschlossenen Regelkreis vorstellen, der so aussieht wie der Stromkreis, den ich oben gezeichnet habe. Oder wählen Sie eine beliebige Form Ihrer Wahl. Verwenden Sie nun das Faradaysche Gesetz für diese Schleife.
Das Konzept des „Flusses“ macht keinen Sinn, es sei denn, Sie definieren die Oberfläche, durch die Sie es berechnen, klar. Sie können den Fluss nicht einfach "unterwegs" berechnen, wie Sie es in der Frage getan haben. In Ihrer Frage haben Sie sogar 'n' als Normalenvektor "der Stange" genommen. Dies ist, gelinde gesagt, falsch. Sie müssen eine vordefinierte Oberfläche auswählen und dieser Oberfläche einen Normalenvektor zuweisen.
Da Sie schließlich nur einen Stab haben, der sich in einem Magnetfeld bewegt, ist der Aufbau nicht ideal, um das Faradaysche Gesetz zu beweisen. Mit diesem Aufbau können wir nur fiktive EMK beweisen.
Letzte: Da Sie in den Kommentaren erwähnt haben, dass in der Stange kein Strom fließt, setzen Sie einfach den Vektor 'u' auf Null und der Rest bleibt gleich.
(+1) für die detaillierte Erklärung. Aber es gibt sicherlich kein Problem mit dem +-Zeichen, wenn die Richtung des Flächenvektors gegeben ist.
@navinstudent das OP ist sich der konventionell richtigen Richtung des Normalenvektors nicht sicher. Er möchte, dass das Minuszeichen direkt aus dem Beweis kommt, anstatt über das "Lenzsche Gesetz" nachdenken zu müssen.
Außerdem kann das Lenzsche Gesetz nicht direkt aus dem Minuszeichen allein abgeleitet werden. Das Gesetz von Lenz besagt, dass die induzierte EMK in einer solchen Richtung sein wird, dass sie der Änderung des Magnetflusses aufgrund von EXTERNEN Quellen "widerspricht". Der Flussbegriff im Faradayschen Gesetz bezieht sich jedoch auf den Fluss, der von externen Quellen erzeugt wird, plus den Fluss, der aufgrund des Stroms erzeugt wird, der im Stromkreis selbst fließt (siehe Selbstinduktion). Das Minuszeichen kann also nicht wirklich "am Ende" hinzugefügt werden, selbst wenn das Lenzsche Gesetz bekannt ist. Ebenso ist das Gesetz von Lenz nicht allein aus dem Minuszeichen ersichtlich. Es ist also wichtig, im Beweis das richtige Vorzeichen zu erhalten.
Und ich muss noch einmal erwähnen, dass ein Stab, der sich in einem Magnetfeld bewegt, kein guter Aufbau ist, um das Faradaysche Gesetz zu beweisen. Beginnen Sie stattdessen mit einer geschlossenen Schleife
Das Faraday-Gesetz besagt einfach, dass die induzierte EMK durch die Änderungsrate des Flusses gegeben ist und ihre Richtung der Zunahme oder Abnahme des Flusses entgegenwirken soll. Mathematisch ist es einfach e=-d(phi)/dt.wobei phi der Fluss ist jeden Augenblick. Der Rest ergibt sich aus meiner Antwort.
Kann das Faradaysche Gesetz bewiesen werden? Ich vermutete, dass es sich um ein experimentelles Gesetz handelt, das durch Experimente verifiziert werden kann.
@navinstudent Dies gilt, wenn sich Magnetfelder nicht mit der Zeit ändern. Dieser Teil ist leicht zu beweisen. Hast du die Frage überhaupt richtig gelesen? Sein Zweifel gilt dem Beweis. Er hätte es beinahe für einen Spezialfall bewiesen, obwohl er sich nicht sicher war, wie er das richtige Zeichen bekommen sollte. Wenn sich das Magnetfeld mit der Zeit ändert, beinhaltet das Konzepte der Relativität usw.

Frobenius · Answer 2

Definieren Sie eine Oberfläche $\:S\:$ (physisch oder imaginär) und seine geschlossene Grenzkurve $\:C\:$ . Definieren Sie die Einheitsnormalenvektoren zur Oberfläche $\:\mathbf{n}\:$ . Diese Vektoren definieren eine Richtung $\:\overrightarrow{n_c}\:$ auf der Kurve $\:C\:$ nach der Rechtsregel. Definieren Sie den magnetischen Fluss durch die Oberfläche $\:S\:$

\begin{matrix} (01) & Φ \equiv \iint_{S} B \cdot d S = \iint_{S} (B \cdot n) d S \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi\equiv \iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S} \tag{01} \end{equation}$ Nun, die EMK in Kurve

C

$\:C\:$ würde einen Strom induzieren

i_{c}

$\:i_c\:$ was nach dem Lenzschen Gesetz eine Richtung hätte

\begin{matrix} (02) & Richtung von {ich}_{c} = - (Zeichen von \frac{d Φ}{d t}) \times (Richtung auf der Kurve \vec{n_{c}}) \end{matrix}

$\begin{equation} \text{direction of }\mathrm{i}_c= -\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n_c} \right) \tag{02} \end{equation}$ so dass der magnetische Fluss des durch den Strom erzeugten Magnetfeldes

i_{c}

$\:\mathrm{i}_c\:$ würde der Änderung des magnetischen Flusses durch EXTERNE Quellen widersprechen, wie Kalyan unter seiner Antwort kommentiert:

Außerdem kann das Lenzsche Gesetz nicht direkt aus dem Minuszeichen allein abgeleitet werden. Das Gesetz von Lenz besagt, dass die induzierte EMK in einer solchen Richtung sein wird, dass sie der Änderung des Magnetflusses aufgrund von EXTERNEN Quellen "widerspricht".

Beachten Sie, dass die Richtung des Stroms $\:\mathrm{i}_c\:$ gegeben durch (02) ist unabhängig von der Wahl der Einheitsnormalenvektoren $\:\mathbf{n}\:$ . Denn wenn wir die Gegensätze wählen

\begin{matrix} (03) & n^{'} = - n \end{matrix}

$\begin{equation} \mathbf{n'}=-\mathbf{n} \tag{03} \end{equation}$ dann haben wir die entgegengesetzte Richtung auf der Kurve

\begin{matrix} (04) & \vec{n_{c}^{'}} = - \vec{n_{c}} \end{matrix}

$\begin{equation} \overrightarrow{n'_c}=-\overrightarrow{n_c} \tag{04} \end{equation}$ der entgegengesetzte magnetische Fluss

\begin{matrix} (05) & Φ^{'} = \iint_{S} B \cdot d S = \iint_{S} (B \cdot n^{'}) d S = - \iint_{S} (B \cdot n) d S = - Φ \end{matrix}

$\begin{equation} \Phi'=\iint\limits_{S}\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathrm{d}\mathbf{S}=\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n'}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\iint\limits_{S}\left(\mathbf{B}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\right)\mathrm{d}\mathrm{S}=\boldsymbol{-}\Phi \tag{05} \end{equation}$ aber die gleiche Richtung des induzierten Stroms

\begin{aligned} Richtung von {ich}_{c}^{'} & = - (Zeichen von \frac{d Φ^{'}}{d t}) \times (Richtung auf der Kurve \vec{n_{c}^{'}}) \\ = - (- Zeichen von \frac{d Φ}{d t}) \times (- Richtung auf der Kurve \vec{n_{c}}) \\ (06) & = Richtung von {ich}_{c} \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}'_c & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi'}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{direction on curve } \overrightarrow{n'_c}\right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{-}\text{ sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\boldsymbol{-}\text{ direction on curve } \overrightarrow{n_c}\right)\\ & = \text{direction of }\mathrm{i}_c \tag{06} \end{align}$

Nun, zweifellos ist die Größe der EMK in Ihrer Frage

\begin{matrix} (07) & | e m f | = | \begin{matrix} - \frac{d Φ}{d t} \end{matrix} | = B v ℓ \end{matrix}

$\begin{equation} \vert \mathrm{emf}\vert=\begin{vmatrix} \boldsymbol{-}\dfrac{\mathrm{d}\Phi}{\mathrm{d}t}\end{vmatrix}=Bv\ell \tag{07} \end{equation}$ aber seine Polarität ist in der Abbildung unten gezeigt. Der magnetische Flussvektor

B

$\:\mathbf{B}\:$ wird als konstant angenommen und zeigt zum Positiven

z

$\:z$ -Achse.

Stellen Sie sich also vor, dass Ihr Stab zylindrisch auf zwei gegenüberliegenden Seiten eines rechteckigen Drahts rollt. Sie haben zwei Umkleideflächen, eine Rückseite $\:S_b\:$ , eine Vorderseite $\:S_f\:$ . Anwenden des Faraday-Gesetzes mit dem Lenz-Gesetz auf beliebige Oberflächen $\:S_\jmath \,(\jmath=b,f)\:$ mit jeder Einheit normal $\:\pm\,\mathbf{n_\jmath}\,(\jmath=b,f)\:$ Sie erhalten das gleiche Ergebnis für die Polarität der Bewegungs-EMK.

Beispiele:

(1) Wenn wir die Einheit normal zur Rückseite definieren $\:S_b\:$ als $\:\mathbf{n_b}\:$ auf das Positive hinweisen $\:z$ -Achse, siehe Abbildung, dann definiert dieser Vektor einen Gegenuhrzeigersinn (von der positiven Seite gesehen). $\:z\:$ ) Richtung $\:\overrightarrow{\rm{EFCDE}}\:$ auf der Kurve (rechteckig) $\:\rm{EFCDE}$ . Der Fluss $\:\Phi_b\:$ durch $\:S_b\:$ nimmt zu, $\:\mathrm{d}\Phi_b/\mathrm{d}t >0$ , so dass die Richtung des hypothetischen Stroms $\:\mathrm{i}_b\:$ , woraus wir auf die EMK-Polarität schließen, ist im Uhrzeigersinn, wie in der Abbildung gezeigt, da

\begin{aligned} Richtung von {ich}_{b} & = - (Zeichen von \frac{d Φ_{b}}{d t}) \times (gegen den Uhrzeigersinn) \\ = - (+) \times (gegen den Uhrzeigersinn) \\ (08) & = im Uhrzeigersinn \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_b & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_b}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{anti-clockwise } \right)\\ & = \text{clockwise} \tag{08} \end{align}$ Beachten Sie, dass die Linien der magnetischen Flussdichte des Feldes durch diesen hypothetischen Strom erzeugt werden

i_{b}

$\:\mathrm{i}_b\:$ wird die Oberfläche überqueren

S_{b}

$\:S_b\:$ (Das ist das Rechteck

E F C D E

$\:\rm{EFCDE}$ ) mit negativer Richtung

z

$\:z$ -Achse, die dem zunehmenden Fluss entgegenwirkt

Φ_{b}

$\:\Phi_b\:$ .

(2) Wenn wir die Einheit normal zur Vorderfläche definieren $\:S_f\:$ als $\:\mathbf{n_f}\:$ weist auf das negative hin $\:z$ -Achse, siehe Abbildung, dann definiert dieser Vektor einen Uhrzeigersinn (von der positiven Seite gesehen). $\:z\:$ ) Richtung $\:\overrightarrow{\rm{AEFBA}}\:$ auf der Kurve (rechteckig) $\:\rm{ABFEA}$ . Der Fluss $\:\Phi_f\:$ durch $\:S_f\:$ nimmt an Größe ab, nimmt aber an algebraischem Wert zu, $\:\mathrm{d}\Phi_f/\mathrm{d}t >0$ , so dass die Richtung des hypothetischen Stroms $\:\mathrm{i}_f\:$ , woraus wir auf die EMK-Polarität schließen, ist, wie in der Abbildung gezeigt, da gegen den Uhrzeigersinn

\begin{aligned} Richtung von {ich}_{f} & = - (Zeichen von \frac{d Φ_{f}}{d t}) \times (im Uhrzeigersinn) \\ = - (+) \times (im Uhrzeigersinn) \\ (09) & = gegen den Uhrzeigersinn \end{aligned}

$\begin{align} \text{direction of }\mathrm{i}_f & = \boldsymbol{-}\left(\text{sign of } \dfrac{\mathrm{d}\Phi_f}{\mathrm{d}t} \right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \boldsymbol{-}\left(\boldsymbol{+}\right)\times \left(\text{clockwise } \right)\\ & = \text{anti-clockwise} \tag{09} \end{align}$ Beachten Sie, dass die Linien der magnetischen Flussdichte des Feldes durch diesen hypothetischen Strom erzeugt werden

i_{f}

$\:\mathrm{i}_f\:$ wird die Oberfläche überqueren

S_{f}

$\:S_f\:$ (Das ist das Rechteck

A B F E A

$\:\rm{ABFEA}$ ) mit Richtung zum Positiven

z

$\:z$ -Achse, die dem zunehmenden Fluss entgegenwirkt

Φ_{f}

$\:\Phi_f\:$ .

Rosa · Answer 3

Denken Sie daran, dass Fluss definiert ist als $\vec{B} \cdot \vec{A}$ .also wenn $\vec{B}$ und $\vec{A}$ in entgegengesetzten Richtungen sind, ergibt sich einfach ein negatives Vorzeichen. Ihr zweiter Fall würde sich also auf den ersten Fall reduzieren.

Ihre beiden Ansätze sind richtig. Lassen Sie mich erklären, wie.

Betrachten wir einen Stab, der sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Das Magnetfeld sei nach oben gerichtet. Betrachten Sie die Kraft, die unter dem Einfluss des Magnetfeldes auf ein Elektron wirkt. Wir können annehmen, dass die Geschwindigkeit des Elektrons im Inneren des Leiters dieselbe ist wie die des Leiters selbst. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kraft auf das Elektron in +y-Richtung wirkt. Daher wirkt eine induzierte EMK auf den Stab. Lassen Sie uns rechnen diese EMF.

Wie Sie gesagt haben

e m f = \int v \times B . d l

$emf=\int v\times B.dl$ Hier wird es notwendig, die Richtung von dl zu definieren. Wie wir bereits früher gesehen haben, ist die Kraft auf ein Elektron innerhalb des Leiters in +y-Richtung. Es ist also offensichtlich, dass die induzierte EMK mit ihrem höheren Potential am unteren Ende erzeugt wird. Also wir sollten die Richtung von dl als -y-Richtung wählen. Jetzt ist es an der Reihe, den Flächenvektor zu definieren. Ich werde nicht wiederholen, was Sie bereits gezeigt haben.

B \frac{d}{d t} \int d l \times d l^{'}

$B \frac{d}{dt}\int dl \times dl'$ wobei dl' die kleine Verschiebung in Richtung der Geschwindigkeit der Stange ist. Die Richtung von dl $\times$ dl' ist +z . Es ist zwingend erforderlich, dass, wenn wir die Richtung des Normalenvektors als -z-Richtung nehmen, er auf Ihren ersten Fall reduziert wird, andernfalls auf Ihren zweiten Fall.

Danke für die Antwort, aber was meinst du mit "es wird einfach ein negatives Vorzeichen ergeben"? Ich denke, dass ich das Minuszeichen explizit bekommen sollte , unabhängig davon, dass $\bf{B}$ und $\bf{S}$ die gleiche Richtung haben oder nicht.
@Sørën Denken Sie daran, dass die Richtung des Flächenvektors einfach vorbei ist $\vec{n}$ .
@Sørën ja, das stimmt konventionell, Sie müssen ein negatives Vorzeichen erhalten, aber Sie müssen dann der konventionellen Richtung des Flächenvektors folgen, die durch die Regel für die rechte Hand angegeben ist. Wenn jedoch die Richtung des Flächenvektors umgekehrt wird, erhalten Sie ein anderes Ergebnis. jedoch beide sind richtig. Ich werde meine Antwort bearbeiten, um zu erklären, wie.
@Sørën, bitte schau dir die Bearbeitung an. Fühle dich frei, auf etwas hinzuweisen, worüber ich unklar war.
Sie haben den Kern der Diskussion offensichtlich nicht erfasst. Wo ist der geschlossene Regelkreis, den wir definieren müssen?
@Kalyan Eine geschlossene Schleife wird sofort gebildet, wenn sich die Stange um eine Strecke dl 'in Richtung der Geschwindigkeit verschiebt.
Wenn wir die konventionelle Richtung einschlagen, landen wir bei einer konventionellen Formel. Es gibt jedoch keine feste Regel für die Wahl der Richtung des Normalenvektors. Dies führt zu einer anderen, aber praktisch gleichen Formel.

Faradaysches Gesetz aus Lorentzkraft bei bewegtem Leiterstab: Wie müssen die Vektoren orientiert sein?

Sorën

Rosa

Antworten (3)

Newton

Sorën

Newton

Newton

Newton

Newton

Rosa

Newton

Newton

Newton

Rosa

Rosa

Newton

Newton

Frobenius

Newton

Rosa

Sorën

Rosa

Rosa

Rosa

Newton

Rosa

Rosa

Ziehen Magnete magnetische Materialien an, indem sie Magnetismus in ihnen induzieren?

Energieverlust wenn Permanentmagnet durch Spule fällt?

Widerspruch zwischen Faradays Gesetz und Motional EMF

Was ist der gesamte magnetische Fluss durch eine Spule?

Missverständnis der Rechtsschraubenregel für Magnetfelder

Können Sie das Faradaysche Gesetz durch Selbstinduktion demonstrieren?

Ist es möglich, einen verdrehten Stabmagneten zu erzeugen, und wird er ein verdrehtes Magnetfeld haben?

Maxwell-Gleichungen und wiederholt erzeugte elektrische und magnetische Felder

Beispiel Magnetschwebefrosch

Warum sagt das Lenzsche Gesetz nicht das Verhalten eines Stabes auf Federn in einem Magnetfeld voraus?