Ist Magnetkraft nicht konservativ? [Duplikat]

Dies liegt an der Definition einer konservativen Kraft (und den darin enthaltenen Links):

Wenn eine auf ein Objekt wirkende Kraft nur eine Funktion der Position ist, wird sie als konservative Kraft bezeichnet und kann durch eine potentielle Energiefunktion dargestellt werden, die für einen eindimensionalen Fall die Ableitungsbedingung erfüllt

Schauen wir uns das Magnetfeld an, kann es durch ein skalares Potential beschrieben werden ?

Es gibt kein allgemeines skalares Potential für das Magnetfeld B, aber es kann als Kräuselung einer Vektorfunktion ausgedrückt werden

${\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}}$

Sie fällt also nicht unter die Definition konservativer Kräfte.

Eine andere Sicht:

Ein Kraftfeld$F$, das überall im Raum (oder innerhalb eines einfach zusammenhängenden Raumvolumens) definiert ist, wird als konservative Kraft oder konservatives Vektorfeld bezeichnet, wenn es eine dieser drei äquivalenten Bedingungen erfüllt:

1. Die Locke von$F$ist null:

   $$\nabla \times \vec{F} = 0.$$

2. Es gibt kein Netzwerk ($W$) durch die Kraft beim Bewegen eines Teilchens durch eine Bahn, die an der gleichen Stelle beginnt und endet:

   $$W \equiv \oint_C \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec r = 0.$$

3. Die Kraft kann als negativer Gradient eines Potentials geschrieben werden,$\Phi$:

   $$\vec{F} = -\nabla \Phi.$$

[Gleichwertigkeitsnachweis weggelassen.]

Der Begriff konservative Kraft kommt von der Tatsache, dass, wenn eine konservative Kraft vorhanden ist, mechanische Energie erhalten bleibt. Die bekanntesten konservativen Kräfte sind die Schwerkraft, die elektrische Kraft (in einem zeitunabhängigen Magnetfeld, siehe Faradaysches Gesetz) und die Federkraft.

Viele Kräfte (insbesondere solche, die von der Geschwindigkeit abhängen) sind keine Kraftfelder. In diesen Fällen sind die obigen drei Bedingungen mathematisch nicht äquivalent. Zum Beispiel erfüllt die Magnetkraft Bedingung 2 (da die von einem Magnetfeld auf ein geladenes Teilchen verrichtete Arbeit immer Null ist), aber nicht Bedingung 3, und Bedingung 1 ist nicht einmal definiert (die Kraft ist kein Vektorfeld, man kann also seine Locke nicht auswerten). Dementsprechend stufen einige Autoren die Magnetkraft als konservativ ein, ^[3] andere nicht. ^[4] Die magnetische Kraft ist ein ungewöhnlicher Fall; Die meisten geschwindigkeitsabhängigen Kräfte wie Reibung erfüllen keine der drei Bedingungen und sind daher eindeutig nicht konservativ.

Es ist also nicht so klar, wie bei der Erhaltung von Energie und Impuls :).

Das ist seltsam. Das Magnetfeld ist in Gegenwart von Strömen oder zeitlich veränderlichen elektrischen Feldern NICHT konservativ.

Ein konservatives Feld sollte ein geschlossenes Linienintegral (oder Curl) von Null haben. Maxwells vierte Gleichung (Amperesches Gesetz) kann geschrieben werden

$$\nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\, ,$$ Sie können also sehen, dass dies nur in bestimmten Fällen gleich Null ist.

Auch die Magnetkraft ist nur in Sonderfällen konservativ. Die Kraft aufgrund eines elektromagnetischen Feldes wird geschrieben

$${\bf F} = q{\bf E} + q{\bf v} \times {\bf B}$$

Damit das dann konservativ ist$\nabla \times {\bf F} = 0$und

$$\nabla \times {\bf F} = q\nabla \times {\bf E} + q\nabla \times ({\bf v} \times {\bf B}) .$$ Aber aus dem Faradayschen Gesetz wissen wir das $$\nabla \times {\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\, ,$$ so, $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + q{\bf v}(\nabla \cdot {\bf B}) - q{\bf B}(\nabla \cdot {\bf v}) + ({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} - ({\bf v}\cdot \nabla){\bf B}\, .$$ Aus dem Solenoidgesetz $\nabla \cdot {\bf B}=0$immer und $\nabla \cdot {\bf v} = \partial/\partial t(\nabla \cdot {\bf r})=0$. Außerdem, $({\bf B}\cdot \nabla){\bf v} = ({\bf B}\cdot \frac{\partial}{\partial t} \nabla){\bf r} = 0$, so $$\nabla \times {\bf F} = - q\left[\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} + \frac{\partial {\bf B}}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t}\right]$$ $$\nabla \times {\bf F} = - q\frac{d {\bf B}}{d t}$$ und die Kraft ist nur bei stationären magnetischen (und damit elektrischen) Feldern konservativ.

Bearbeiten: Beachten Sie, dass die Arbeit aufgrund des unvermeidlichen begleitenden E-Felds von zeitvariablen B-Feldern erledigt wird. Das kann also ein potenzieller Punkt der Mehrdeutigkeit sein.