Biot-Savart-Gesetz und Magnetfeld eines Rings

Question

Biot-Savart-Gesetz und Magnetfeld eines Rings

Benutzer2723984

Ich muss das Magnetfeld entlang der Achse eines Radiusrings berechnen $R$ auf dem ein Strom zirkuliert $I$ unter Verwendung des Biot-Savart-Gesetzes. Das Biot-Savart-Gesetz, wie es in meinem (wirklich schlechten) Kurs angegeben ist, besagt

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \oint_{C} \frac{ICH \times R}{| R |^{3}} D l

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\oint_{C}\frac{\mathbf{I}\times \mathbf{r}}{|\mathbf{r}|^3}\mathrm{d}l$

wo in diesem Fall

C = {(ρ, ϕ, z) : ρ = R, z = 0, ϕ \in [0, 2 π [}

$C=\{(\rho, \phi, z): \rho=R, \, z=0,\,\phi\in[0,2\pi[ \}$

Und $\mathbf{I}=I\hat{e}_{\phi}$

wir haben $\mathbf{r}=\rho\hat{e}_{\rho}+z\hat{e}_z$ , daher

{\hat{e}}_{ϕ} \times R = {\hat{e}}_{ϕ} \times (ρ {\hat{e}}_{ρ} + z {\hat{e}}_{z}) = - ρ {\hat{e}}_{z} + z {\hat{e}}_{ρ}

$\hat{e}_\phi\times \mathbf{r}=\hat{e}_\phi\times(\rho\hat{e}_{\rho}+z\hat{e}_z)=-\rho\hat{e}_z+z\hat{e}_\rho$ und somit

B = \frac{μ_{0}}{4 π} \int_{0}^{2 π} {[\frac{- ρ {\hat{e}}_{z} + z {\hat{e}}_{ρ}}{(ρ^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}}]}_{ρ = R, z = 0} D ϕ

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{-\rho\hat{e}_z+z\hat{e}_\rho}{(\rho^2+z^2)^\frac{3}{2}}\right]_{\rho=R, \,z=0}\mathrm{d}\phi$

was natürlich etwas gibt, das konstant und falsch ist. Ich verstehe wirklich nicht, wie diese Formel irgendetwas Sinnvolles ergeben kann, da jede räumliche Variable mit der Integration verschwindet. Ich habe andere Versionen des Gesetzes gefunden, die Notationen wie enthalten $\vec{dl}\times\vec{r}$ was ich einfach nicht verstehe, ich weiß nicht, was es bedeutet, das Kreuzprodukt eines Differentials mit etwas zu bilden. Habe ich ein falsches Biot-Savart-Gesetz? Wenn nicht, was mache ich falsch? Danke schön.

Garyp

Ich habe mir Ihre Arbeit nicht im Detail angesehen, aber wenn Ihr Problem das ist

z

$z$ verschwindet, weil

z = 0

$z=0$ Auf dem Ring, pass auf . Es gibt wirklich zwei

z

$z$ 's, einer für die Koordinate des Integrationsbereichs (des Rings), oft genannt

z^{'}

$z'$ , die andere ist die Koordinate des Beobachtungspunktes.

z^{'}

$z'$ wird weg integriert, aber

z

$z$ nicht. Mit anderen Worten, nicht festlegen

z = 0

$z=0$ . Wenn dies nicht das Problem ist, das Sie haben, erklären Sie bitte, was Sie meinen, wenn Sie sagen, dass "jede räumliche Variable verschwindet".

Garyp

Außerdem müssen Sie mit dem Integral vorsichtig sein, weil

{\hat{e}}_{ρ}

$\hat{e}_\rho$ kommt drauf an

ϕ

$\phi$ .

Benutzer2723984

Das ist mein Problem, und ich verstehe, was Sie sagen, das Problem ist, dass ich mich dann nicht setze

z = 0

$z=0$ Die

z {\hat{e}}_{ρ}

$z\hat{e}_\rho$ Teil nicht verschwindet, dann habe ich eine radiale Komponente, die nicht da sein sollte. Wie unterscheide ich

z

$z$ Und

z^{'}

$z'$ ? Und wie funktioniert

{\hat{e}}_{ρ}

$\hat{e}_\rho$ darauf ankommen

ϕ

$\phi$ ?

Garyp

{\hat{e}}_{ρ}

$\hat{e}_\rho$ kommt drauf an

ϕ

$\phi$ Sie müssen dies also explizit berücksichtigen. Schreiben

{\hat{e}}_{ρ}

$\hat{e}_\rho$ explizit in Bezug auf Vektoren, die sich nicht mit ändern

ϕ

$\phi$ , und natürlich,

ϕ

$\phi$ . Die einfachsten Vektoren, die ich mir vorstellen kann, sind

\hat{x}

$\hat{x}$ Und

\hat{y}

$\hat{y}$ . Das heißt, finden

{\hat{e}}_{ρ} (\hat{x}, \hat{y}, ϕ)

$\hat{e}_\rho(\hat{x},\hat{y},\phi)$

Garyp

Übrigens, Sie sollten beide Wege verstehen: Ihren Weg und den von @WillemKrose. In der Praxis macht es niemand auf Ihre Weise, aber es ist wichtig und nützlich zu wissen, wie es geht.

Garyp

[Hoppla. Korrigieren eines Fehlers in einem Kommentar, den ich löschen musste] Deshalb müssen Sie keine Integration vornehmen

d z'

$dz′$ . Du könntest ein hinzufügen

z'

$z′$ Integration, wenn Sie die einbeziehen

z

$z$ - Abhängigkeit der Quelle:

δ (z')

$\delta(z′)$ , die natürlich setzt

z' = 0

$z′=0$ für dich. Aber Sie haben diesen Schritt "übersprungen", indem Sie mit gesundem Menschenverstand argumentiert haben, dass es nicht notwendig ist, a zu tun

z^{'}

$z'$ Integration.

Benutzer2723984

Wenn ich also gut verstehe, sollte mein letztes Integral sein

B = \frac{μ_{0} ICH}{4 π} \int_{0}^{2 π} {[\frac{- ρ {\hat{e}}_{z} + z^{'} {\hat{e}}_{ρ}}{(ρ^{2} + z^{' 2})^{\frac{3}{2}}}]}_{ρ = R, z = 0} D ϕ

$\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{-\rho\hat{e}_z+z'\hat{e}_\rho}{(\rho^2+z'^2)^\frac{3}{2}}\right]_{\rho=R, \,z=0}\mathrm{d}\phi$ und da

e_{ρ} = (x \cos ϕ, y \sin ϕ, 0)

$e_\rho=(x\cos\phi, y\sin\phi,0)$ Diese beiden Beiträge verschwinden, da es sich um trigonometrische Funktionen handelt, die über den gesamten Zeitraum integriert sind, sodass ich übrig bleibe

B (z) = - \frac{μ_{0} ICH}{2} \frac{R}{(R^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} {\hat{e}}_{z} .

$\mathbf{B}(z)=-\frac{\mu_0I}{2}\frac{R}{(R^2+z^2)^\frac{3}{2}}\hat{e}_z.$ richtig? Nach meinem Kurs hätte ich es tun sollen

R^{2}

$R^2$ anstatt

R

$R$

EDIT: Ich habe die Ableitung der Parametrisierung vergessen, die R ist. Danke

Ichchyamoy

@Chris: Ich denke nicht, dass das Limit, das Sie verwenden, richtig ist. Sie sollten einfach so gelassen werden. Das eigentliche Gesetz sieht in etwa so aus:

\int \frac{ICH \times (R - R^{'})}{| R - R^{'} |^{3}} D l

$\int \frac {\mathbf I \times \mathbf {(r-r')} }{\mathbf{|r-r'|^3}} dl$ Wo

r

$r$ ist der Punkt, an dem das Feld geschätzt wird und

r^{'}

$r'$ ist die Kurve

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Biot-Savart-Gesetz und Magnetfeld eines Rings

Ich habe mir Ihre Arbeit nicht im Detail angesehen, aber wenn Ihr Problem das ist $z$ verschwindet, weil $z=0$ Auf dem Ring, pass auf . Es gibt wirklich zwei $z$ 's, einer für die Koordinate des Integrationsbereichs (des Rings), oft genannt $z'$ , die andere ist die Koordinate des Beobachtungspunktes. $z'$ wird weg integriert, aber $z$ nicht. Mit anderen Worten, nicht festlegen $z=0$ . Wenn dies nicht das Problem ist, das Sie haben, erklären Sie bitte, was Sie meinen, wenn Sie sagen, dass "jede räumliche Variable verschwindet".
Außerdem müssen Sie mit dem Integral vorsichtig sein, weil $\hat{e}_\rho$ kommt drauf an $\phi$ .
Das ist mein Problem, und ich verstehe, was Sie sagen, das Problem ist, dass ich mich dann nicht setze $z=0$ Die $z\hat{e}_\rho$ Teil nicht verschwindet, dann habe ich eine radiale Komponente, die nicht da sein sollte. Wie unterscheide ich $z$ Und $z'$ ? Und wie funktioniert $\hat{e}_\rho$ darauf ankommen $\phi$ ?
$\hat{e}_\rho$ kommt drauf an $\phi$ Sie müssen dies also explizit berücksichtigen. Schreiben $\hat{e}_\rho$ explizit in Bezug auf Vektoren, die sich nicht mit ändern $\phi$ , und natürlich, $\phi$ . Die einfachsten Vektoren, die ich mir vorstellen kann, sind $\hat{x}$ Und $\hat{y}$ . Das heißt, finden $\hat{e}_\rho(\hat{x},\hat{y},\phi)$
Übrigens, Sie sollten beide Wege verstehen: Ihren Weg und den von @WillemKrose. In der Praxis macht es niemand auf Ihre Weise, aber es ist wichtig und nützlich zu wissen, wie es geht.
[Hoppla. Korrigieren eines Fehlers in einem Kommentar, den ich löschen musste] Deshalb müssen Sie keine Integration vornehmen $dz′$ . Du könntest ein hinzufügen $z′$ Integration, wenn Sie die einbeziehen $z$ - Abhängigkeit der Quelle: $\delta(z′)$ , die natürlich setzt $z′=0$ für dich. Aber Sie haben diesen Schritt "übersprungen", indem Sie mit gesundem Menschenverstand argumentiert haben, dass es nicht notwendig ist, a zu tun $z'$ Integration.
Wenn ich also gut verstehe, sollte mein letztes Integral sein $B = \frac{μ_{0} ICH}{4 π} \int_{0}^{2 π} {[\frac{- ρ {\hat{e}}_{z} + z^{'} {\hat{e}}_{ρ}}{(ρ^{2} + z^{' 2})^{\frac{3}{2}}}]}_{ρ = R, z = 0} D ϕ$ $\mathbf{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\left[\frac{-\rho\hat{e}_z+z'\hat{e}_\rho}{(\rho^2+z'^2)^\frac{3}{2}}\right]_{\rho=R, \,z=0}\mathrm{d}\phi$ und da $e_\rho=(x\cos\phi, y\sin\phi,0)$ Diese beiden Beiträge verschwinden, da es sich um trigonometrische Funktionen handelt, die über den gesamten Zeitraum integriert sind, sodass ich übrig bleibe $B (z) = - \frac{μ_{0} ICH}{2} \frac{R}{(R^{2} + z^{2})^{\frac{3}{2}}} {\hat{e}}_{z} .$ $\mathbf{B}(z)=-\frac{\mu_0I}{2}\frac{R}{(R^2+z^2)^\frac{3}{2}}\hat{e}_z.$ richtig? Nach meinem Kurs hätte ich es tun sollen $R^2$ anstatt $R$ EDIT: Ich habe die Ableitung der Parametrisierung vergessen, die R ist. Danke
@Chris: Ich denke nicht, dass das Limit, das Sie verwenden, richtig ist. Sie sollten einfach so gelassen werden. Das eigentliche Gesetz sieht in etwa so aus: $\int \frac{ICH \times (R - R^{'})}{| R - R^{'} |^{3}} D l$ $\int \frac {\mathbf I \times \mathbf {(r-r')} }{\mathbf{|r-r'|^3}} dl$ Wo $r$ ist der Punkt, an dem das Feld geschätzt wird und $r'$ ist die Kurve

andrehgomes · Answer 1

Nehmen wir zunächst einmal an, der Stromfluss in Richtung steigend $\phi$ . Lassen Sie uns nun für den Ring das Biot-Savart-Gesetz in die Form schreiben

B (X) = \frac{μ_{Ö} ich}{4 π} \oint_{C} \frac{D l^{'} \times R}{| R |^{3}},

$\textbf{B}(\textbf{x}) = \frac{\mu_o i}{4\pi} \oint_C \frac{d\textbf{l}'\,\times\,\textbf{r}}{|\textbf{r}|^3},$

Wo $d\textbf{l}'$ ist der infinitesimale Verschiebungsvektor und $\textbf{r} = \textbf{x} - \textbf{x}'$ ist der Abstandsvektor von der Feldquelle (Strom entlang des Drahtsegments). $dl'$ ) bei $\textbf{x'}$ auf den Punkt $\textbf{x}$ wo Sie das Feld messen möchten. Hinweis, den ich verwendet habe $\textbf{i}\,dl'=i\,d\textbf{l}'$ (Ich persönlich bevorzuge es $i\,d\textbf{l}'$ ).

Aufgrund der Geometrie des Problems sind Zylinderkoordinaten besser geeignet, um die Berechnungen durchzuführen. Für Punkte auf der Ringachse gilt $\textbf{x} = z\, \hat{\textbf{e}}_z$ . Auch die Position eines beliebigen infinitesimalen Segments des Drahts kann dargestellt werden durch $\textbf{x}'=R\, \hat{\textbf{e}}_\rho'$ (erinnern $\hat{\textbf{e}}_\rho'$ ist Funktion von $\phi'$ Und $\phi'$ definiert, wo sich dieses Segment im Draht befindet). Deshalb $\textbf{r}=z\, \hat{\textbf{e}}_z-R\, \hat{\textbf{e}}_\rho'$ Und $|\textbf{r}|^3=(z^2+R^2)^{3/2}$ . Endlich, $d\textbf{l}'=R\, d\phi'\,\hat{\textbf{e}}_\phi'$ . Ich habe alle diese Primzahlen aufgenommen, um mich daran zu erinnern, dass diese Variablen in Bezug auf die Quelle des Feldes und Integrationsvariablen im Biot-Savart-Gesetz sind.

Das Kreuzprodukt lautet nun

D l^{'} \times R = (z R {\hat{e}}_{ρ}^{'} + R^{2} {\hat{e}}_{z}^{'}) D ϕ^{'} .

$d\textbf{l}'\,\times\,\textbf{r} = (z\,R\, \hat{\textbf{e}}_\rho'+R^2\,\hat{\textbf{e}}_z')\,d\phi'.$

Jetzt gilt das Biot-Savart-Gesetz

B (X) = \frac{μ_{Ö} ich}{4 π} \int_{0}^{2 π} \frac{z R {\hat{e}}_{ρ}^{'} + R^{2} {\hat{e}}_{z}^{'}}{(z^{2} + R^{2})^{3 / 2}} D ϕ^{'} .

$\textbf{B}(\textbf{x}) = \frac{\mu_o i}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{z\,R\,\hat{\textbf{e}}_\rho'+R^2\,\hat{\textbf{e}}_z'}{(z^2+R^2)^{3/2}}\,d\phi'.$

Der Einheitsvektor $\hat{\textbf{e}}_z'$ ist konstant und gleich $\hat{\textbf{e}}_z$ damit geht das Integral aus. Andererseits, $\hat{\textbf{e}}_\rho'=\cos{\phi'}\hat{\textbf{e}}_x+\sin{\phi'}\hat{\textbf{e}}_y$ ist eine Funktion von $\phi'$ und integriert werden müssen,

B (X) = \frac{μ_{Ö} ich}{4 π} \frac{z R}{(z^{2} + R^{2})^{3 / 2}} \int_{0}^{2 π} (\cos ϕ^{'} {\hat{e}}_{X} + Sünde ϕ^{'} {\hat{e}}_{j}) D ϕ^{'} + \frac{μ_{Ö} ich}{4 π} \frac{R^{2}}{(z^{2} + R^{2})^{3 / 2}} {\hat{e}}_{z} \int_{0}^{2 π} D ϕ^{'} .

$\textbf{B}(\textbf{x}) = \frac{\mu_o i}{4\pi}\frac{z\,R} {(z^2+R^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}(\cos{\phi'}\hat{\textbf{e}}_x+\sin{\phi'}\hat{\textbf{e}}_y)\,d\phi'+\frac{\mu_o i}{4\pi}\frac{R^2}{(z^2+R^2)^{3/2}}\hat{\textbf{e}}_z\int_0^{2\pi} d\phi'.$

Das erste Integral verschwindet, weil $\int_0^{2\pi}\cos\phi'\,d\phi'=\int_0^{2\pi}\sin\phi'\,d\phi'=0$ . Das zweite Integral ist gerecht $2\pi$ . Dann bekommt man das Magnetfeld auf Distanz $z$ entlang der Ringachse:

B (X) = \frac{μ_{Ö} ich}{2} \frac{R^{2}}{(z^{2} + R^{2})^{3 / 2}} {\hat{e}}_{z} .

$\textbf{B}(\textbf{x}) = \frac{\mu_o i}{2}\frac{R^2}{(z^2+R^2)^{3/2}}\hat{\textbf{e}}_z.$

Das OP sollte diese Antwort akzeptieren und dem Autor die Arbeit anerkennen. Andererseits missbilligen wir im Allgemeinen vollständige Antworten.
Dies ist ein sehr standardmäßiges Lehrbuchbeispiel, das nicht immer mit ausreichend klaren mathematischen Details dargestellt wird. Daher dachte ich, dass eine klare und präzise Darstellung der Lösung dem Verständnis des OP helfen würde.
Ich stimme zu, und es ist eine schöne Präsentation, DIE DAS ORIGINAL-POSTER AKZEPTIEREN SOLLTE. (Tut mir leid, dass ich schreie, aber ich glaube nicht, dass er oder sie mich beim ersten Mal gehört hat.
@garyp Entschuldigung, ich hatte ehrlich gesagt die Benachrichtigung verpasst, dass diese alte Frage von mir beantwortet wurde, ich habe die Antwort akzeptiert. Eine Randnotiz: Der Benutzer, der die Frage gestellt hat, erhält keine Benachrichtigung, wenn jemand eine Antwort kommentiert, außerdem sind Kommentare, die alle in Großbuchstaben geschrieben sind, nicht besser lesbar oder eher wahrnehmbar, sondern nur unhöflicher. Andrehgomes, danke für die Antwort :)

Willem Kroese · Answer 2

Normalerweise gehe ich an diese Probleme weniger mathematisch heran. Griffiths verwendet die folgende Abbildung:

Das Teil $dl'$ liefert ein Stück des Magnetfeldes $dB$ . Alle horizontalen Komponenten heben sich auf, sodass wir nur die vertikalen Komponenten berücksichtigen müssen. Das Integral wird zu:

B (z) = \frac{μ_{0}}{4 π} ICH \int \frac{D l' \times R}{R^{2}} = \frac{μ_{0}}{4 π} ICH \int \frac{D l^{'}}{R^{2}} \cos θ

$B(z) = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{d\textbf{l'}\times \textbf{r}}{r^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} I \int \frac{dl'}{r^2} \cos\theta$

Das Kreuzprodukt zwischen dl und I ist in der Figur deutlicher sichtbar. Sie bilden das Kreuzprodukt eines kleinen Teils von I mit dem Vektor r. Der Vektor r ist ein Einheitsvektor, also ist seine Länge 1. Der Winkel zwischen den 2 Vektoren beträgt 90 Grad, also bleibt nur dl übrig. Der Kosinus nimmt die vertikale Komponente heraus. Die Lösung dieses Integrals ist trivial.

Danke, aber was ich suche, ist genau der mathematische Weg, um das Problem anzugehen. Ich verstehe nicht, warum sich die Tatsache, dass sich die horizontalen Komponenten aufheben, nicht mathematisch aus diesem Gesetz ergeben kann. Und abgesehen davon, dass diese Dinge in einer sehr begrenzten Anzahl von Fällen funktionieren, möchte ich wissen, wie man das Gesetz im Allgemeinen anwendet, weil ich im Moment nicht verstehe, wie man das macht

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