Herausforderndes Problem der Magnetostatik - der "blinde Fleck" eines magnetischen Dipols

Question

Herausforderndes Problem der Magnetostatik - der "blinde Fleck" eines magnetischen Dipols

Quarkleptonboson

Ich schreibe für eine Elektromag-Prüfung und bin auf ein Problem gestoßen, das wirklich schwer zu lösen ist. Hier ist es:

Ein kleiner magnetischer Dipol mit Moment $\vec m = m_o \hat z$ befindet sich in einem Bereich mit einheitlichem Magnetfeld $\vec B = B_o \hat z$ . Zeigen Sie, dass es eine Kugel gibt, in der das Nettomagnetfeld Null ist. Welchen Radius hat die Kugel?

Diese bestimmte Kugel bezeichne ich als den "blinden Fleck" eines magnetischen Dipols. Es ist das erste Mal, dass ich so etwas begegne. Ich glaube, dass es eine Kugel ist, deren Halbkugeln auf beiden Seiten der xy-Ebene liegen. Warum? Ich bin mir nicht ganz sicher, aber mein Argument ist, dass sich die Felder von beiden Seiten der Halbkugel aufheben, da die Feldlinien in unmittelbarer Nähe des Dipols in seine Richtung zeigen (Sie können es aus den üblichen Skizzen der Feldlinien von sehen ein Dipol, also ein Stabmagnet)

Ich glaube auch nicht, dass der Dipol zentriert oder sogar innerhalb dieser Kugel ist.

Allerdings ist die eigentliche Berechnung wirklich knifflig. Ich habe mit dem Skalarpotential experimentiert

Δ ϕ_{M} = 0

$\Delta \phi_m = 0$ aber die geometrische Analyse bringt mich um.

Ich stecke ein bisschen fest, also..... irgendjemand da draußen, der bereit ist, mir zu helfen? Auch nur ein grober Überblick darüber, was zu tun ist, wird äußerst hilfreich sein. Vielen Dank!!!

mcodesmart

Hoffe, diese Illustration hilft. demonstrationen.wolfram.com/…

Antworten (2)

Herausforderndes Problem der Magnetostatik - der "blinde Fleck" eines magnetischen Dipols

Hoffe, diese Illustration hilft. demonstrationen.wolfram.com/…

Mateus Sampaio · Answer 1

Wie die anderen Antworten bereits betonten, gibt es keine solche sphärische Region. Das vom magnetischen Dipol erzeugte Feld wird durch gegeben

B_{D} (R, θ) = \frac{μ_{0} M_{0}}{4 π} \frac{3 \hat{R} \cos θ - \hat{z}}{R^{3}}

$\mathbf{B}_d(r,\theta)=\frac{\mu_0m_0}{4\pi}\frac{3\hat{\mathbf{r}}\cos\theta-\hat{\mathbf{z}}}{r^3}$ Wenn wir also beide Felder addieren, können wir es nicht für eine ganze sphärische Oberfläche null machen, was in sphärischen Koordinaten fest bedeutet

r

$r$ , da die Komponente auf der

z

$z$ Richtung wird konstant sein, aber das Radial ist

θ

$\theta$ abhängig. Was gemacht werden kann, wie @mcodesmart gepostet hat, ist, einen Nullfluss auf einer Kugel zu bekommen. In diesem Fall ist das radiale Feld Null. Dafür müssen wir haben

\frac{μ_{0} M_{0}}{4 π} \frac{3 \cos θ - \cos θ}{R^{3}} + B_{0} \cos θ = 0 ⟹ R = {(- \frac{μ_{0} M_{0}}{2 π B_{0}})}^{1 / 3}

$\frac{\mu_0m_0}{4\pi}\frac{3\cos\theta-\cos\theta}{r^3}+B_0\cos \theta=0\implies\\ r=\left(-\frac{\mu_0m_0}{2\pi B_0}\right)^{1/3}$ was zeigt, dass das homogene Feld im entgegengesetzten Sinne des Dipols orientiert sein muss.

Das ist nicht ganz richtig. Auf der $x,y$ Ebene ist das Dipolfeld entlang $hat{\mathbf z}$ , also gibt es für ein gegebenes externes Feld entlang des Dipols einen Kreis in dieser Ebene mit einem Nettofeld von Null (sowie einen einzelnen Punkt auf dem $z$ Achse). Richtig ist aber, dass sich das nicht auf eine volle Sphäre erstrecken kann.
Aber ich habe nicht behauptet, dass das Feld für einen Kreis nicht Null sein kann. Für eine feste $r$ in sphärischen Koordinaten, die eine Kugel angibt, kann dies nicht erfüllt werden.
Oh, ok. Erwägen Sie in diesem Fall eine Klarstellung - zum Wohle abgelenkter Leser wie mir :).
@MateusSampaio+@EmilioPisanty Ein interessanter Punkt, der hier in der Antwort impliziert, aber nicht ausdrücklich erwähnt wird, ist, dass - für die Kugel der Dipol in die entgegengesetzte Richtung zum einheitlichen Feld ausgerichtet ist, für den Ring mit Null-Magnetfeld jedoch der Dipol muss in der gleichen Richtung wie das einheitliche Feld ausgerichtet sein. Schöne Antwort Mateus Sampaio.

tom · Answer 2

Nachdem Sie den guten Kommentar von mcodesmart und die nützliche Antwort von Mateus Sampaio gesehen haben, sollte die Frage entweder nach ... suchen.

Kreis mit Null-Magnetfeld

oder

Kugel, durch die kein Fluss fließt

meine ursprüngliche antwort

Diese Frage ergibt für mich keinen Sinn - ich würde verstehen, wenn sie nach einem kreisförmigen Bereich fragen würde, in dem das Magnetfeld Null ist. - Eine Kugel mit Null-Magnetfeld zu haben bedeutet, dass die Summe der beiden Magnetfelder an allen Punkten innerhalb (oder auf der Oberfläche) einer Kugel Null ist. Da das gleichmäßige Magnetfeld gleichmäßig und parallel ist, bedeutet dies, dass der kleine Dipol eine Kugel mit einem gleichmäßigen Magnetfeld in genau der entgegengesetzten Richtung erzeugen muss, was er sicherlich nicht kann - er kann jedoch einen Kreis aus Magnetfeldern in genau der entgegengesetzten Richtung erzeugen Größenordnung in der Ferne $r$ aus der Mitte des Dipols in der $xy$ Ebene. Die Herausforderung wäre dann zu finden $r$ bezüglich $m$ Und $B$ .

Ich denke, die Frage muss einen Kreis bedeuten, weil der Dipol auf das einheitliche Feld ausgerichtet ist - beide gehen in den $z$ Richtung.- also werden die magnetischen Feldlinien vom Dipol nur in der sein $-z$ (Negativ $z$ ) Richtung und in der Lage, es in der this aufzuheben $xy$ Ebene, die das Zentrum des Dipols umfasst.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

In diesem Bild aus Wikipedia befindet sich der Dipol in der +ve z-Richtung und in der xy-Ebene, die auf dem Dipol zentriert ist, gibt es ein Magnetfeld aufgrund des Dipols im Gegenteil $-z$ Richtung.

Herausforderndes Problem der Magnetostatik - der "blinde Fleck" eines magnetischen Dipols

Quarkleptonboson

mcodesmart

Antworten (2)

Mateus Sampaio

Emilio Pisanty

Mateus Sampaio

Emilio Pisanty

tom

tom

Finden Sie das Vektorpotential einer sich drehenden Kugelschale mit einheitlicher Oberflächenladung?

Randbedingungen in der Magnetostatik - Berechnung der Oberflächenstromdichte

Was sind die Randbedingungen für EM-Wellen, die normalerweise auf die Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien einfallen?

Wie können wir das Kreisgesetz von Ampère in einem Draht anwenden?

Finden des Vektorpotentials eines unendlichen Zylinders mit gleichmäßigem Oberflächenstrom

Biot-Savart-Gesetz und Magnetfeld eines Rings

Magnetfeld in zwei leitenden parallelen Platten. (Streifenleitung) [geschlossen]

Amperesches Stromkreisgesetz für unendlich langen Draht

Herleitung des Ampere-Gesetzes in Jackson

Wie findet man das Magnetfeld als Funktion von rrr von der Achse des Solenoids?