Richtung von HH\textbf{H} und BB\textbf{B} innerhalb und außerhalb eines Stabmagneten

Ich scheine auf einen Widerspruch gestoßen zu sein, als ich über die Richtungen von nachgedacht habe$\textbf{H}$Und$\textbf{B}$innen und außen ein Stabmagnet.

Angenommen, ein Stabmagnet hat eine ungefähr konstante Magnetisierung M, die entlang der positiven z-Richtung zeigt. Nehmen wir außerdem an, dass der Magnet aus einem isotropen Material besteht, d. h$\textbf{M}=\chi_m \textbf{H}$(1). Deshalb$\textbf{H}$sollte in die gleiche Richtung zeigen wie$\textbf{M}$, unter der Vorraussetzung, dass$\chi_m$positiv ist, was für die meisten magnetischen Materialien der Fall sein sollte? Von der Definition$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}$und durch Einsetzen von (1) erhalten wir$\textbf{B}=\mu_0(1+\chi_m)\textbf{H}=\frac{\mu_0(1+\chi_m)}{\chi_m}\textbf{M}=\frac{\mu_0\mu_r}{\mu_r-1}\textbf{M}$. Es sei denn$\mu_r$ist kleiner als 1,$\textbf{B}$sollte auch parallel sein$\textbf{M}$. Daher bekommen wir das bisher beides$\textbf{H}$Und$\textbf{B}$sollte in die gleiche Richtung zeigen wie Richtung wie$\textbf{M}$innerhalb des Magneten, also entlang der positiven z-Richtung.

Wir wissen das$\nabla\cdot\textbf{B}=0$und so Anwenden von Randbedingungen auf die obere und untere Oberfläche des Magneten (normal zur z-Achse) unter Verwendung einer infinitesimal dünnen Gaußschen Pillbox, erhalten wir das$\textbf{B}^\perp_\textrm{outside}=\textbf{B}^\perp_\textrm{inside}$. Deshalb$\textbf{B}$unmittelbar außerhalb der oberen Fläche sollte auch in die positive z-Richtung zeigen. Unter der Annahme, dass in der Nähe des Magneten keine freien Ströme fließen,$\nabla\times\textbf{H}=\textbf{J}_\textrm{free}=\textbf{0}$. Anlegen von Randbedingungen an die Seitenflächen des Magneten (parallel zur z-Achse),$\textbf{H}^\parallel_\textrm{outside}=\textbf{H}^\parallel_\textrm{inside}$. Deshalb$\textbf{H}$unmittelbar außerhalb der Seitenflächen müssen ebenfalls in die positive z-Richtung zeigen. Die Feldlinien müssen sich jedoch auch umrollen und auf die obere Oberfläche des Magneten treffen, wo$\textbf{H}$muss daher in die negative z-Richtung zeigen. Seit$\textbf{M}=\textbf{0}$außen,$\textbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}-\textbf{M}=\frac{1}{\mu_0}\textbf{B}$Und$\textbf{H}$muss parallel sein$\textbf{B}$wir haben aber nur argumentiert, dass sie aufgrund der Randbedingungen in entgegengesetzte Richtungen zeigen. Wie lösen wir diesen Widerspruch auf?