Der Vektor$\hat \varphi$ist am Ursprung nicht definiert, da die Koordinatentransformation

Der Satz, dass

Die Singularität entsteht natürlich, weil man einen unendlich dünnen Draht hat. Versuchen Sie, das Magnetfeld für einen dicken Draht zu finden$R_1$mit gleichmäßiger Stromdichte und unter der Grenze von$R_1 \to 0$während der Gesamtstrom konstant bleibt. Die Kräuselung wird außerhalb des Drahtes Null sein, aber innerhalb des Drahtes divergieren, wie es die Maxwell-Gleichungen vorschreiben.

Es gibt bereits sehr gute Antworten, daher möchte ich nur eine physikalische Intuition geben, warum dieses Vektorfeld kräuselfrei ist, obwohl es eine Zirkulation ungleich Null hat.

Wir können die Kräuselung mit einem verschwindend kleinen Schaufelrad in einer Flüssigkeitsströmung vergleichen. Wir stellen uns das Vektorfeld als eine Strömung der Flüssigkeit vor und das Schaufelrad spielt die Rolle der Kräuselung. Die Richtung der Kräuselung wird durch die Achse des Schaufelrades und durch die Rechte-Hand-Regel angegeben. Die Größe der Kräuselung ist der Winkelgeschwindigkeit des Schaufelrads zugeordnet.

Wenn wir das Schaufelrad in eine Flüssigkeit bringen, die entsprechend dem gegebenen Vektorfeld fließt, drückt die Flüssigkeit die Schaufeln wie in der folgenden Abbildung

Das Vektorfeld ist am unteren Paddel (näher an der Mitte) stark und am oberen schwächer. Das Nettoergebnis bei diesen beiden Paddeln wäre eine Drehung im Uhrzeigersinn. Die Flüssigkeit drückt aber auch das linke Paddel nach unten und das rechte Paddel nach oben. Diese Drehung im Gegenuhrzeigersinn hebt genau die Drehung im Uhrzeigersinn des oberen und unteren Paddels auf, und das Endergebnis ist, dass sich das Paddelrad nicht dreht. Dieses Vektorfeld ist kräuselfrei, obwohl es eindeutig eine von Null verschiedene Zirkulation hat.

Diese Formel gilt außerhalb des Drahtes, wo$J=0$. Das sagt die Maxwell-Gleichung$\nabla \times B = 0$dort.

Es gibt jedoch kein Skalarfeld, dessen Gradient ist$B$um den Draht. Dies ist der typische Fall, in dem Sie ein drehungsfreies Feld haben, das kein (globales) Potential zulässt. Ansonsten das Integral von$B$um den Draht wäre null und dies erlaubt eines der Maxwellschen Gesetze in ganzzahliger Form nicht.

Innerhalb des Drahtes, wenn$J$ist einheitlich,$I$enthält nur den Teil des Stroms, der von der betrachteten Linie umflossen ist$B$, es kommt also darauf an$r$, dh,$I=I(r)$und die Formel ändert sich$\nabla \times B \neq 0$.

1. Magnetfeld des OP

   $$\vec{B}~=~\frac{k }{\rho}\hat{\boldsymbol \varphi}, \qquad \rho~\neq~ 0,\tag{1}$$ in Zylinderkoordinaten $(\rho,\varphi,z)$gehorcht (im Sinne der Verteilung ) dem Kreisgesetz von Ampere (ACL): $$\mu_0 \vec{J}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}~\stackrel{(1)}{=}~2\pi k ~\delta^2(x,y)\hat{\bf z},\tag{2}$$ mit der Stromdichte, die durch eine 2D -Dirac-Delta-Verteilung gegeben ist . Die Integralform von Gl. (2) führt zu $$\mu_0 I~\stackrel{(2)}{=}~2\pi k.\tag{3}$$

2. Eine schnelle Möglichkeit, die zweite Gleichheit in Gl. (2) soll das Magnetfeld regulieren

   $$\vec{B}_{\varepsilon} ~=~\frac{k\rho }{\rho^2+\varepsilon }\hat{\boldsymbol \varphi},\tag{1'}$$ $$\mu_0 \vec{J}_{\varepsilon}~\stackrel{(ACL)}{=}~ \vec{\nabla}\times \vec{B}_{\varepsilon}~\stackrel{(1')}{=}~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2}\hat{\bf z},\tag{2'}$$ $$\mu_0 I_{\varepsilon}~\stackrel{(2')}{=}~\int_0^{\infty} 2\pi \rho~\mathrm{d}\rho ~\frac{2k\varepsilon }{(\rho^2+\varepsilon)^2} ~=~2\pi k,\tag{3'}$$ mit Regler$\varepsilon>0$, und nehmen Sie die Grenze$\varepsilon\to 0^+$. Ein rigoroser Verteilungsnachweis verwendet Testfunktionen ähnlich wie zB meine Phys.SE-Antwort hier .