Dirigenten und Eindeutigkeitssatz

Dies ist ein typischer Fall eines Problems, das physikalisch klar genug, aber mathematisch chaotisch ist. Wo strenge Ergebnisse folkloristisch verwendet werden, um ein Ergebnis zu erzielen, das eigentlich viel mehr Sorgfalt erfordern würde, um es abzuleiten ... Aber vermutlich würden mathematische Details das physikalische Bild nicht ändern. Hier zeigt sich deutlich der Unterschied zwischen Theoretischer Physik und Mathematischer Physik .

Tatsächlich wird dieser Eindeutigkeitssatz in dem von Ihnen erwähnten Beispiel nicht richtig verwendet. Wie es in Ihrer ursprünglichen Aussage steht, gilt die Eindeutigkeitseigenschaft when$\Omega$ist eine offene und beschränkte Teilmenge von$\mathbb R^n$Und$\varphi$ist durchgehend drin$\overline{\Omega}= \Omega \cup \partial \Omega$und es ist$C^2(\Omega)$Erfüllung der Poisson-Gleichung$\Delta \varphi = \rho$In$\Omega$selbst.

(Der Beweis der Eindeutigkeit ist eine triviale Konsequenz aus einem berühmten Satz über harmonische Funktionen$\phi$In$\Omega$, dh Funktionsüberprüfung$\Delta \phi =0$In$\Omega$, die durchgehend sind$\overline{\Omega}$. Dieser Satz legt fest, dass, wenn$\Omega$ist offen und der Verschluss ist kompakt,$\max_{\overline{\Omega}} |\phi|$wird in einem Punkt von erreicht$\partial \Omega$. In Gedanken an$\phi$als Differenz zweier Lösungen der Poisson-Gleichung, die dieselben Randbedingungen erfüllen, entsteht leicht die Eindeutigkeitseigenschaft.)

Wenn$\Omega$nicht beschränkt ist , wie in dem erwähnten Beispiel, wo$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$, muss man weitere Anforderungen an das Verhalten von hinzufügen$\varphi$für$||(x,y, z)|| \to +\infty$, und es gibt mehrere Möglichkeiten.

Das erwähnte Beispiel leidet jedoch unter einem anderen Problem. In dem oben erwähnten Eindeutigkeitsergebnis$\rho$ist stetig, weil$\Delta \varphi$Ist. Im betrachteten Beispiel statt$\rho$Singular ist, genau genommen ein Dirac-Delta. Es gibt mehrere Möglichkeiten, mit diesem Problem umzugehen. Am einfachsten ist es, die Punktladung durch eine gegebene kugelsymmetrische Verteilung zu ersetzen - mit Gesamtladung$q$und auf einen begrenzten kugelförmigen kleinen Bereich beschränkt - und an der Grenze dieses Bereichs kontinuierlich verschwinden. Im Rest meiner Antwort gehe ich davon aus. Eine andere, technisch aufwendigere Möglichkeit besteht darin, den von der Ladung belegten Punkt aus zu entfernen$\Omega$. In diesem Fall kann das Eindeutigkeitsergebnis so wie es ist nicht ausgenutzt werden, weil$\Omega$erwirbt einen anderen Teil der Grenze, wo das Potential divergiert. Andere Ansätze, die auf Greens Identitäten anstelle des Maximumprinzips basieren, könnten in diesem Fall implementiert werden.

In diesem Fall bei$\Omega$die Ladung ist$q$(das ist die$\rho$Verteilung, die Sie erwähnen) mit Entfernung$d$aus$\partial \Omega$Und$\varphi=0$An$\partial \Omega$Weil$\partial \Omega$ist eine geerdete leitende Ebene. Der Wert von$\varphi$An$\partial \Omega$konstant ist, können wir davon ausgehen, dass dies der Fall ist$0$. Die wahre Randbedingung hier ist die$\varphi$erreicht auf$\partial \Omega$den gleichen Wert, den es erreicht$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Betrachten wir die Situation, in der zwei Ladungen im gegenseitigen Abstand bleiben$2d$entlang der$z$Achse, die sich auf das konzentriert, was darin passiert$\overline{\Omega}$(nicht außerhalb) bezüglich Ladungsverteilungen und Randbedingungen von$\varphi$.

Der$\rho$Verteilung im Halbraum$\Omega = \{(x,y,z) \in {\mathbb R}^3\:|\: z>0\}$ist dasselbe wie im vorigen Fall: Da ist die Ladung$q$auf Distanz$d$aus dem Flugzeug um$z=0$.

Auch die Randbedingungen von$\varphi$An$\partial \Omega$und für$||(x,y, z)|| \to +\infty$sind die gleichen wie für den anderen Fall: Das Flugzeug bei$z=0$ist im Hinblick auf die Symmetrie des Problems und den Wert von Äquipotential$\varphi$darauf ist derselbe wie der Wert von$\varphi$für$||(x,y, z)|| \to +\infty$.

Wenden Sie daher die Eindeutigkeitseigenschaft in an$\overline{\Omega}$, verpflichten wir uns zu dem Schluss, dass das Potenzial$\varphi$in der Region$\Omega \cup \partial \Omega$ist in beiden Fällen gleich.

NACHTRAG . Tatsächlich kann man ein Argument verwenden, das sich aus der Theorie der elliptischen Regularität ergibt, um mit der Eindeutigkeit in Situationen umzugehen, in denen in einem begrenzten Bereich Punktladungen vorhanden sind, die durch Dirac-Deltas beschrieben werden. Die Idee beruht auf dem folgenden Ergebnis der elliptischen Regularität.

Wenn$\phi$ist eine Verteilungsüberprüfung$\Delta \phi =f$(im schwachen Sinne) für ein glattes ($C^\infty$) Funktion$f$, Dann$\phi$ist ein$C^\infty$Funktion bis zum Nullmaß eingestellt.

(Es ist erwähnenswert, dass das obige Ergebnis sofort die fantastische Tatsache mit sich bringt, dass harmonische Funktionen immer sind$C^\infty$und nicht nur$C^2$, tatsächlich ist es möglich zu beweisen, dass sie reell analytisch sind.) Dieses Ergebnis führt zu dem folgenden Eindeutigkeitssatz, der verbessert werden kann, indem er einige Hypothesen über das Verhalten der Funktion auf der "regulären" Grenze schwächt.

Satz . Vermuten$\Omega \subset \mathbb R^n$ist nicht leer offen und$\overline{\Omega}$ist kompakt. Lassen$p \in \Omega$und betrachte das Problem:

$$\Delta \varphi(x) =\rho \quad x \in \Omega \setminus \{p\}$$ mit Randbedingungen $$\varphi|_{\partial \Omega} = f$$ Wo $$\varphi \in C^2(\Omega \setminus \{p\}) \cap C^0(\partial \Omega \cup \Omega \setminus \{p\} )$$ Und$f \in C^0(\partial \Omega)$Und$\rho \in C^0(\Omega \setminus \{p\})$sind zugewiesen. Wenn beides$\varphi_1$Und$\varphi_2$sind Lösungen des Problems und $$\lim_{x\to p} (\varphi_1(x)- \varphi_2(x))=0\:,$$ (wo die Grenzen abweichen können oder nicht existieren, wenn sie gesondert betrachtet werden, um den Fall einer Punktgebühr zu verkörpern$q$) Dann $$\varphi_1 = \varphi_2\:.$$

BEWEIS . Mit den gegebenen Hypothesen offensichtlich$\phi:= \varphi_1-\varphi_2$ist durchgehend an$\Omega$, also eine Distribution für Testfunktionen,$h\in C_0^\infty (\Omega)$. Wenn$B_\epsilon$ist eine kleine Kugel herum$p$mit Radius$\epsilon$, unter Verwendung der Kontinuität von$\phi$insbesondere partielles Integrieren und Definieren$\Omega_\epsilon := \Omega \setminus B_\epsilon$, wir haben

$$\int_\Omega \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_{\Omega_\epsilon} \phi \Delta h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon} (\Delta \phi) h d^nx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_{\Omega_\epsilon}(\rho-\rho) h d^nx$$ $$= \lim_{\epsilon \to 0^+} 0 = 0\:.$$ Das alles bedeutet $\phi$ist eine Verteilungslösung $\Delta \phi =0$im Verteilungssinn. Daher ist sie im Hinblick auf die erwähnte elliptische Regelmäßigkeitseigenschaft eine glatte Funktion bis zu einem Maßsatz von Null. Seit $\phi$ist durchgehend an $\Omega \setminus \{p\}$und erstreckt sich auf eine stetige Funktion at $p$(das Nullmaß hat), $\phi = \varphi_1-\varphi_2$ist überall eine reibungslose Funktion $\Omega$. Insbesondere durch Stetigkeit zweiter Ableitungen die glatt erweiterte Funktion $\phi$überprüft $\Delta \phi =0$im ganzen Satz $\Omega$im eigentlichen Sinne . Durch Konstruktion erhalten wir eine Funktion $\phi$welches ist $C^\infty(\Omega) \cup C^0(\overline{\Omega})$, befriedigend $\Delta \phi =0$In $\Omega$Und $\phi =0$An $\partial \Omega$. Angesichts des Ergebnisses der Standard-Eindeutigkeit gilt: $\phi=0$In $\overline{\Omega}$, dh $\varphi_1= \varphi_2$In $\overline{\Omega}$. QED

Der Eindeutigkeitssatz stammt eigentlich aus der Differentialgleichungsmathematik.

Wenn Sie einen vollständigen Satz von 1) Diff eq. 2) Randbedingungen

Dann haben Sie eine einzige Lösung.

Das bedeutet auch, dass, wenn Sie eine Lösung gefunden haben, die diese Bedingungen erfüllt, dies die einzige Lösung ist, die Sie haben.

Beim sogenannten Spiegelproblem tauscht man eine Randbedingung, zB die Ladungsverteilung auf der Oberfläche, gegen eine andere - die virtuelle Punktladung - aus.

Wenn Sie die Punktladung gelöst haben, ahmt die effektive Ladungsverteilung auf der Oberfläche die virtuelle Punktladung nach.

Die Differentialgleichung ist dieselbe, aber Sie haben eine Dirichlet-Randbedingung gegen eine entsprechende Neuman-Randbedingung ausgetauscht. dies ergibt die gleiche Lösung.

Das Analoge könnte beispielsweise ein harmonischer Oszillator sein. Die diff Gl. ist dasselbe. Möglicherweise haben Sie eine Randbedingung von$x_0=$etwas und$v_0$= etwas anderes, und Sie können diese gegen austauschen$x_{t'}$= etwas$v_{t'}$= etwas anderes oder ein Paar$x_{t'}$Und$x_{t''}$
Und sie könnten alle dieselbe Lösung ergeben, wenn sie äquivalente Randbedingungen sind.