Eindeutigkeit der Poisson-Gleichung bei unbekannter gebundener Ladung

Ich kenne die üblichen sauberen Eindeutigkeitsbeweise für Lösungen der Poisson-Gleichung,

$$\nabla^2 \phi = -\rho/\epsilon$$ die zeigen, dass, wenn wir zwei Lösungen haben$\phi'$,$\phi''$, Dann $$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = \int_{\partial \Gamma}(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'')\cdot \vec{dA} - \int_{\Gamma} dV (\phi' - \phi'') \nabla^2(\phi' - \phi'')$$ Ich gehe immer davon aus, dass ich an einen schönen, einfachen Band denke$\Gamma$, und dass ich Randbedingungen an der Grenze angegeben habe$\partial \Gamma$. Das Zauberhafte liegt darin, dass bei entsprechenden Randbedingungen, wie von Neumman und Dirichlet oder einer Mischung aus beiden, unterschiedliche Teile entstehen$\partial \Gamma$, verschwindet das Oberflächenintegral auf der rechten Seite. Außerdem,$\nabla^2(\phi' - \phi'')$überall verschwindet, also verschwindet das Volumenintegral auf der rechten Seite und geht

$$\int_{\Gamma} dV \nabla(\phi' - \phi'') \nabla(\phi' - \phi'') = 0$$ was das impliziert$\nabla(\phi' - \phi'')$ist Null im Volumen, also$\phi' - \phi''$ist konstant. Alles ist gut.

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Mein Problem ist das$\rho$ist oft nicht vollständig spezifiziert! Zum Beispiel, wenn wir eine Grenze zwischen zwei dielektrischen Medien haben$\Gamma$, erwarte ich, dass die Grenze gebundene Ladung aus der Materialantwort haben wird. Das ist,$\rho = \rho_{\rm free,\, specified} + \rho_{\rm bound,\, unspecified}$. Für einfache Materialien erhält das Problem zusätzliche Randbedingungen anstelle der Spezifizierung$\rho_{\rm bound,\, unspecified}$zu Beginn.

Das heißt, man erwartet

$$\nabla^2 \phi = -\rho_{\rm free, specified}/\epsilon$$ weg von der Grenze zwischen den einfachen Materialien, zusammen mit der zusätzlichen Randbedingung senkrecht zur Grenze $$\epsilon_{a} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\big{|}_{a} = \epsilon_{b} \frac{\partial \psi}{ \partial n}\large|_{b}$$ an der Grenze zwischen den einfachen Materialien. Diese letztere Grenze ist kein Teil von$\partial \Gamma$, und diese Randbedingung hat einen anderen Geschmack als Dirichlet oder von Neumann, da es sich lediglich um eine Konsistenzgleichung und nicht um eine Spezifikation handelt.

Wie beweise ich die Eindeutigkeit (angesichts der üblichen Typen von Dirichlet, von Neumann bc on$\partial \Gamma$) für ein solches Problem, in dem zusätzliche Randbedingungen enthalten sind$\Gamma$vollständig spezifizieren ersetzen$\rho$In$\Gamma$? Mein Kampf ist, dass ich das nicht sehe$\phi' - \phi''$würde die Laplace-Gleichung erfüllen, da a priori die gebundene Ladung für die beiden Lösungen unterschiedlich sein könnte.