Ein elektrostatisches Problem für zwei Scheiben in R2R2\mathbb{R}^2 - wie lässt sich die Lösung darstellen?

Das elektrostatische Laplace-Problem für das Äußere einer Scheibe kann auf einfache Weise durch Variablentrennung gelöst werden. Angenommen, wir haben eine Einheitsscheibe$\Omega$mit einer Ladungsdichte von$f$an der Grenze. Dann die Lösung des äußeren Problems,

$$\begin{align} & \Delta v(x) = 0 \quad \quad x\in \mathbb{R}^2\setminus \overline{\Omega}, \\ & v |_{\partial D}(x) = f, \end{align}$$ ist durch Trennung der Variablen als gegeben $$v(x) = v(r,\theta) = \sum_{n=0}^\infty r^{-n}(a_n \cos(n\theta)+b_n \sin(n\theta)),$$ Wo $$a_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\cos(n\theta) d\theta, \\ b_n = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(\theta)\sin(n\theta) d\theta.$$ Aber was ist, wenn wir zwei Festplatten haben? $\Omega_1$Und $\Omega_2$, und wir wollen die Lösung des äußeren Laplace-Problems für eine Ladungsdichte bestimmen $f$, mit $f$auf der Vereinigung der Platten definiert $D=\Omega_1\cup \Omega_2$? Angenommen, die Scheiben haben beide einen Radius $1$und sind symmetrisch auf der $x_1$Achse im Abstand von $6$zwischen ihnen.

Können wir einfach zwei neue Ursprünge definieren?$O_1$Und$O_2$in der Mitte der Scheiben, mit zugehörigen Polarkoordinaten$(r_1,\theta_1)$Und$(r_2,\theta_2)$, und sagen Sie dann Folgendes:

$$v(x) = \sum_{n=0}^\infty r_1^{-n}(a_n \cos(n\theta_1)+b_n \sin(n\theta_1)) + \sum_{n=0}^\infty r_2^{-n}(a_n \cos(n\theta_2)+b_n \sin(n\theta_2)).$$ Ist das eine gültige Lösung? Wenn nein, warum nicht?