Frage zur Randbedingung für Maxwellsche Gleichungen und Coulombsches Gesetz

Bei der Ableitung des Coulombschen Gesetzes unter Verwendung der Differentialformen der Maxwell-Gleichung ist die Randbedingung, dass ϕ = 0 bei unendlich wird ebenfalls verwendet.

Aus ∇ × E = 0 , E = ∇ ϕ für einige v Wenn wir dies in das Gaußsche Gesetz einsetzen, erhalten wir die Poisson-Gleichung ∇ 2 ϕ = ρ / e 0 , oder ∇ 2 ϕ = Q δ | R − R 0 | / e 0 für eine Punktgebühr. Die allgemeine Lösung ist ϕ = 1 4 π ϵ 0 Q | R − R 0 | + F Wo F ist eine harmonische Funktion, die die Laplace-Gleichung erfüllt. Wir müssen die Bedingung aufstellen, dass im Unendlichen ϕ = 0 für F ( X ) verschwinden und damit dem Coulombschen Gesetz folgen.

Die Maxwell-Gleichungen und das Lorentz-Kraftgesetz fassen die gesamte Elektrodynamik zusammen, und diese Randbedingungen ergeben sich aus den Einschränkungen im Betrachtungsproblem. Die betrachtete Situation ist eine Punktladung im leeren Raum, also welches physikalische Prinzip motiviert diese Randbedingung, das ϕ = 0 ?

ϕ = 0 im Unendlichen ist willkürlich, es spielt keine Rolle, alle Potentialänderungen sind gleich und alle ergeben das gleiche E-Feld.
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Antworten (2)

Die Maxwell-Gleichungen und das Lorentz-Kraftgesetz fassen tatsächlich die gesamte Elektrodynamik zusammen. Es gibt jedoch physikalische Situationen, in denen Sie die Ladungsverteilung a priori nicht kennen, sondern stattdessen einige Oberflächen angeben, auf denen das elektrische Feld immer normal ist, was passiert, wenn Sie Metalle in der Nähe haben.

In solchen Situationen kann man im Prinzip die drei partiellen Differentialgleichungen lösen E X , E j Und E z in drei Variablen X , j , Und z , mit den angegebenen Dirichlet-Randbedingungen. Alles, was Sie durch die Einführung des Potenzials bewirkt haben, war, dieses schreckliche System von PDEs mit Dirichlet-BCs in ein einziges PDE mit Neumann-BCs umzuwandeln. Es ist also nur ein mathematischer Trick. Alle physikalische Bedeutung ist noch vorhanden E allein (klassisch).

Jetzt haben Sie sich einmal bereit erklärt, sich vorzustellen ϕ um dir das leben zu erleichtern, musst du die gleichen randbedingungen setzen, die du dir sonst auferlegt hättest E selbst. Für ein Punktteilchen ohne Einführung ϕ , um die PDEs zu lösen, die Sie auferlegen mussten E → 0 als R → ∞ . Dies impliziert ϕ → konstant als R → ∞ . Aber dann können wir diese Konstante zu unserer Verfügung wählen, weil sie physikalisch bedeutungslos ist (nur Potentialdifferenz ist sinnvoll).

Danke für die Antwort. Wie kann das Gesetz von Columb aus dem Gesetz von Maxwell und dem Gesetz von Lorentz abgeleitet werden, ohne auf Mehrdeutigkeiten oder Annahmen zurückzugreifen? Gibt es eine Verbindung? Die meisten Lehrbücher enthalten einen Beweis mit der integralen Form der Maxwellschen Gleichungen, aber die sphärische Symmetrie des elektrischen Feldes wird ohne Begründung angenommen.
Auch wäre es sinnvoll, eine andere Randbedingung zu wählen, so dass F ( X ) ist eine nicht konstante Funktion?
Meine Antwort war irreführend, ich werde sie bearbeiten.
Die Rechtfertigung der sphärischen Symmetrie bei der Ableitung des Coulombschen Gesetzes unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes ist unvermeidlich, denn wenn eine kugelsymmetrische Ladung zu einem asymmetrischen elektrischen Feld führen würde, wäre dies eine sehr nicht triviale Aussage über die elektrische Dielektrizitätskonstante des Vakuums.
Danke für die Nachbearbeitung. Warum tut E → 0 als R → ∞ ? Gibt es Situationen, in denen E bei nicht Null ist R = ∞ , oder übersehe ich etwas Offensichtliches?
Um genau zu sein, muss es mindestens so schnell verschwinden wie 1 / R , weil: 1- weil dies sonst bedeuten würde, dass Sie ein Elektron in Andromeda fühlen können. 2 - Dies würde bedeuten, dass die im elektromagnetischen Feld einer kleinen Ladung gespeicherte elektrische Energie unendlich ist (vergessen wir jetzt die Energie genau in der Nähe der Punktladung).
Eine Situation, wo E ≠ 0 bei R → ∞ ist das hypothetische Problem, das Sie in der Elektrostatik sehen, wo Sie einen "unendlichen" gleichmäßig geladenen Draht haben. Oder ein "unendliches" gleichmäßig geladenes Blatt.
So E muss bei verschwinden R → ∞ weil sonst der Energieerhaltungssatz verletzt wird? Mit anderen Worten, ist die Randbedingung E → 0 als R → ∞ motiviert durch das physikalische Prinzip der Energieerhaltung?
Nein. Es hat mit gesundem Menschenverstand und Alltagserfahrung zu tun, dass eine kleine Ladung keine unendliche Energie erzeugen kann, die das gesamte Universum durchdringt.
Okay. Daher muss der gesunde Menschenverstand zusammen mit den Maxwell-Gleichungen verwendet werden, um das Columb-Gesetz abzuleiten. Bedeutet das, dass das Gesetz von Columb nicht vollständig in den Maxwell-Gleichungen und der Lorentz-Gleichung enthalten ist, sondern auch, dass eine kleine Ladung keine unendliche Energie erzeugen kann?
Nehmen wir diese Diskussion zum Chatten. Vielen Dank für die Beantwortung meiner Anfragen.
bitte beachten Sie E = 0 , R = ∞ muss nicht der Fall sein, wenn man die Elektrodynamik betrachtet. Hintergrund-EM-Lösungen können existieren, die nicht Null sind, die nicht auf konstante Lösungen beschränkt sind, sondern inhärente wellenartige Lösungen, die den Feldern "getaggt" sind, die durch Ladungen "erzeugt" werden. Diese Felder werden durch die Anfangsbedingungen des Universums bestimmt und nicht durch den Ort von Ladungen und Strömen.
Im Zusammenhang mit Elektrodynamik (und technisch Elektrostatik): Wir KÖNNEN auch die Felder eines Elektrons in Andromeda spüren, sonst könnten wir das Licht von dort nicht sehen.
Das Coulombsche Gesetz kann aus Maxwells-Gleichungen abgeleitet werden, indem nur das Gaußsche Gesetz und Annahmen verwendet werden. Sie kann auch direkt aus Maxwells-Gleichungen und einer Ladungsdichte von abgeleitet werden Q δ 3 ( R )

Kausalität erfordert, dass jeder physikalische Effekt außerhalb des Lichtkegels einer Ladung verschwindet. Ob Sie also glauben, dass Sie eine beliebige Konstante oder ein Eichfeld hinzufügen können, ϕ = 0 im Unendlichen macht Sinn.

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