Dirichlet- und Neumann-Randbedingung: physikalisches Beispiel

Es gibt ein Standardwerk, das alles über Elektrostatik, die Laplace/Poisson-Gleichung und Randbedingungen enthält: Classical Electrodynamics von JD Jackson. Holen Sie sich das Buch aus der Bibliothek Ihrer Wahl, lesen Sie alle Kapitel mit der Bezeichnung „Elektrostatik“, und Sie werden die Antworten auf alle Ihre Fragen finden (wenn Sie dies simulieren, müssen Sie das alles sowieso wissen).

Die Art der Randbedingung hängt von dem System ab, das Sie beschreiben. Es bedeutet etwas anderes, wenn Sie den Wärmestrom berechnen als Elektrostatik - offensichtlich!

Angenommen, Sie haben eine Differentialgleichung (z. B. die Poisson-Gleichung).$\Delta\varphi(\vec r)=-\frac{\varrho(\vec r)}{\varepsilon_0}$Elektrostatik beschreiben, und Sie lösen es für die Funktion$\varphi(\vec r)$. An den Grenzen der Region (z. B. Zylinder, Würfel usw.) müssen Sie einige Eigenschaften festlegen$\varphi(\vec r)$.

• Neumann-Randbedingung: Sie fixieren$\frac{\partial\varphi(\vec r)}{\partial\vec n}=\text{const}$entlang der Grenze, wo$\vec n$ist der Normalenvektor zur Oberfläche. Es ist im Grunde die Ableitung von$\varphi$wenn Sie direkt von der Oberfläche weggehen. Es kann für jeden ein anderer Wert sein$\vec r$.
• Dirichlet-Randbedingung: Sie fixieren$\varphi(\vec r)=\text{const}$. Es kann für jeden ein anderer Wert sein$\vec r$.

Sie können nur eine dieser beiden oder die Summe festlegen (dies wird als Robin-Randbedingung bezeichnet).

Physikalische Beispiele für Elektrostatik:

• Neumann-Randbedingung: Die oben genannte Ableitung ist konstant, wenn auf einer Oberfläche eine feste Ladungsmenge vorhanden ist, dh$\frac{\partial\varphi(\vec r)}{\partial\vec n}=\sigma(\vec r)$.
• Dirichlet-Randbedingung: Das elektrostatische Potential$\varphi(\vec r)$ist behoben, wenn Sie eine Kondensatorplatte haben, die Sie an eine Spannungsquelle angeschlossen haben. Wenn Sie zB zwei Kondensatorplatten haben, die auf 0 V bzw. 5 V liegen, würden Sie einstellen$\varphi(\vec r)=0$auf der ersten Platte und$\varphi(\vec r)=5$auf der zweiten Platte. Auf diese Weise können Sie die Kapazität berechnen.

Für den Wärmefluss , Fixierung des Feldes$u$(=Dirichlet BC) bedeutet Festlegen der Temperatur. Wenn Sie Elemente in Ihrem System haben, die eine feste Temperatur haben, würden Sie diese verwenden.

Wenn Ihre Linsen auf Elektrostatik basieren, haben sie wahrscheinlich nur Dirichlet-Randbedingungen, denn so beschreiben Sie eine Kondensatorplatte. Wenn Sie Außengrenzen haben, die keine Kondensatorplatten sind, sollten Sie einen Neumann-BC = 0 verwenden (in diesem Fall hat es nichts mit der Festlegung der Ladung zu tun), da dies der beste BC ist, um ein "unendliches" System zu simulieren.

Die Antwort von Zonk ist sehr gut, und ich vertraue darauf, dass ein Verständnis dafür besteht, dass Dirichlet BC den Wert einer Funktion an einer Reihe von Punkten angibt und der Neumann BC den Gradienten der Funktion an einer Reihe von Punkten angibt .

Ich werde dieses zusätzliche Beispiel wie hier beschrieben hinzufügen und es deckt die Bedeutung von Randbedingungen für unser Verständnis der T-Dualität in der Superstring-Theorie ab.

In dieser Situation haben wir die Anforderung, dass bei einer offenen Saite Impuls nicht von der Saite abfließt (z. B. erhalten bleibt und nicht in den Weltraum abfließt). Diese Einschränkung wird als Neumann-Randbedingungen dargestellt:

$$\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=0} = \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=\pi}=0$$ $$\mu = 0,1,\dots,d-1$$

Was im Grunde eine Aussage ist, dass die Positionsänderung in Bezug auf die Grenzen in allen Dimensionen auf Null festgelegt ist.

Wenn wir Randbedingungen für eine T-duale Theorie beschreiben wollen, wo eine Anzahl$p$Dimensionen nicht kompakt belassen werden und der Rest auf einem Torus kompaktiert wird, würden wir einige Randbedingungen von Neumann BC in Dirichlet BC umwandeln und schreiben:

$$\dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=0} = \dfrac{\partial X^\mu}{\partial \sigma}\bigg|_{\sigma=\pi}=0$$ $$\mu = 0,1,\dots,p$$ Für die nicht kompakten Abmessungen und:

$$X^\mu(\tau,0) = X^\mu(\tau,\pi)=X^\mu_0$$ $$\mu = p+1,\dots,d-1$$

Für die verdichteten Abmessungen.

Dies ist dann ein Beispiel für eine Situation, in der einige Variablen Neumann BC respektieren und andere Dirichlet BC respektieren.