Brauchen wir einen beschränkten Bereich, damit die Laplace-Gleichung eine von Null verschiedene Lösung hat uuu?

Da Sie es mit dem ganzen Raum zu tun haben, können Sie sich den sogenannten Liouville-Satz für harmonische Funktionen zunutze machen.

Satz von Liouville . Lassen$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$sei ein$C^2$funktionieren so, dass$\Delta \phi =0$überall. Wenn$\phi$ist beschränkt (d.h. es gibt$k \in [0,+\infty)$so dass$|\phi(x)| \leq k$für jeden$x \in \mathbb R^n$), Dann$\phi$ist überall konstant.

Dies hat ein Paar Folgerungen.

Korollar 1. Let$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$sei ein$C^2$funktionieren so, dass$\Delta \phi =0$überall. Wenn$\phi$ist begrenzt und$\phi(a n) \to 0$als$a \to +\infty$, Wo$n \in \mathbb R^n$ist dann ein fester Einheitsvektor$\phi=0$.

Beweis .$\phi$ist also beschränkt$\phi(x)=c$ständig aufgrund des Satzes von Liouville.$c = \lim_{a\to +\infty} c = \lim_{a\to +\infty} \phi(a n) = 0$.

Folgerung 2. Let$\phi : \mathbb R^n \to \mathbb R$sei ein$C^2$funktionieren so, dass$\Delta \phi =0$überall. Wenn$\phi(x)$neigt dazu$0$als$|x|\to +\infty$(also für jeden$\epsilon >0$Es gibt$r_\epsilon>0$so dass$|\phi(x)|< \epsilon$Wenn$|x|> r_\epsilon$), Dann$\phi=0$.

Beweis . Nehmen$\epsilon >0$so dass$|\phi(x)|< \epsilon$Wenn$|x|> r_\epsilon$. Im Kompaktset$|x| \leq 2r_\epsilon$,$\phi$stetig ist (da ja$C^2$) und ist daher darin von einigen begrenzt$M \geq 0$. Folglich$|\phi(x)| \leq \epsilon_r + M$für alle$x \in \mathbb R^n$. Der Satz von Liouville impliziert dies nun$\phi(x)=c$ständig. Dies jedoch konstant$c$befriedigen muss$0 \leq |c |< \epsilon$für jeden$\epsilon >0$und somit$c=0$.

Die zweite Folgerung verwendet eine sehr schwache Anforderung bezüglich des Wie$\phi$gleichmäßig dazu neigt$0$für$|x|\to +\infty$. Offensichtlich$\phi(x) \sim const/|x|$ist OK, aber auch viel schwächere Konvergenzen reichen aus, wie$\sim const / \ln |x|$...

Ich bin mir nicht sicher, ob ich verstehe, was Sie mit "begrenzter Domäne" meinen. Dies ist eine Antwort, die auf dem basiert, was ich aus der Frage verstehe.

Um die Laplace-Gleichung eindeutig zu lösen, müssen Sie entweder die Dirichlet- oder die Neumann-Randbedingung angeben.

BEARBEITEN: Die Grenze des interessierenden Bereichs kann sowohl in endlichen Entfernungen als auch im Unendlichen liegen. Um beispielsweise das Potential aufgrund einer Punktänderung im freien Raum zu lösen, müssen Sie die Poisson-Gleichung lösen. Hier nehmen wir das Potential, das im Unendlichen auf Null geht. Wenn Sie also eine endliche Grenze im Sinn haben, ist dies nicht erforderlich. Wie Sie wissen, ist die Lösung in diesem Fall die bekannte$u(r)\sim \frac{1}{r}$Coulomb-Potential (das nicht überall gleich Null ist).

Nun für die Laplace-Gleichung im absolut freien Raum (nirgendwo Ladung), wenn die Randbedingung so ist, dass das Potential überall auf der Grenze verschwindet, dann bleibt das Potential überall Null, einfach weil die Laplace-Gleichung keine lokalen Maxima oder Minima unterstützt.