Der Beweis des Satzes von Earnshaw ist in drei Dimensionen subtil!

Die Laplace-Gleichung für das elektrostatische Potential$\phi(\textbf{r})$wird von gegeben

$$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0.\tag{1}$$

Gleichung (1) soll die Tatsache kodieren:

Eine frei bewegliche Ladung kann unter dem Einfluss der elektrostatischen Kräfte allein nicht in einem stabilen Gleichgewicht existieren .

Damit sich eine Ladung im stabilen Gleichgewicht befindet, muss sie sich am Extremum ihres Potenzials befinden$\phi(\textbf{r})$. In Lehrbüchern wird argumentiert, dass Gleichung (1) impliziert, dass die Funktion$\phi(\textbf{r})$hat kein Extremum .

Daher scheinen die Lehrbücher davon auszugehen, dass die notwendige Bedingung für eine Funktion aus mehreren Variablen (mindestens zwei) kein Extremum zu haben ist$\boldsymbol{\nabla}^2\phi(\textbf{r})= 0$.

Allerdings für eine Funktion$f(x,y)$von zwei Variablen, die eigentliche Bedingung für kein Extremum ist

$$f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2<0\tag{2}$$ das sieht (zumindest auf Anhieb) nicht gleich aus wie $$\boldsymbol{\nabla}^2f(x,y)=f_{xx}+f_{yy}=0.\tag{3}$$ Für zwei Dimensionen kann dies jedoch bewiesen werden $(3)\Rightarrow (2)$(siehe Beweis unten). Aber es ist in drei Dimensionen nicht offensichtlich.

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Nachweisen

Beachten Sie, dass Gleichung (1) für zwei Dimensionen impliziert$\phi_{xx}+\phi_{yy}=0.$Quadrieren wir es,

$$\phi_{xx}\phi_{yy}-(\phi_{xy})^2=-\frac{1}{2}(\phi^2_{xx}+\phi^2_{yy}+2\phi^2_{xy})<0$$ da die eingeklammerte Größe auf der rechten Seite positiv ist.

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Frage

Wie ich verstehe, für mehr als eine Dimension,$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$ist nicht die eigentlich notwendige Bedingung für die Funktion$\phi(\textbf{r})$kein Extremum haben . Die tatsächliche Bedingung für kein Extremum, im Falle von$\phi(x,y)$Ist$\phi_{xx}\phi_{yy}-(\phi_{xy})^2<0$was aber mit (1) vereinbar ist.

Aber wie ist es im Allgemeinen offensichtlich, dass$\nabla^2\phi(\textbf{r})=0$ist mit der Bedingung für kein Extremum in drei Dimensionen vereinbar?