Formaler Zusammenhang zwischen Symmetrie und Gauß'schem Gesetz

In der Standardbehandlung von E & M im Grundstudium wird das Gaußsche Gesetz lose so formuliert: "Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung". Äquivalent in differentieller Form und in Bezug auf das Potenzial (im statischen Fall):

∇ 2 ϕ = − ρ ϵ 0

Wenn man nun die Integralform verwendet, verwendet man typischerweise die Symmetrien einer bekannten Ladungsverteilung, um verwandte Symmetrien im elektrischen Feld abzuleiten, wodurch die Größe des Felds aus dem Integral herausgerechnet werden kann. Dazu stützt man sich in der Regel auf intuitive, heuristische Argumente darüber, wie sich das betreffende Feld verhalten "sollte". 1 .

Ich frage mich, wie man diesen Begriff in präzisen mathematischen Begriffen formalisieren kann. Insbesondere scheint es, dass es eine äquivalente Aussage für das Gaußsche Gesetz in differentieller Form geben sollte, im Sinne von „ Symmetrien in ρ verwandte Symmetrien induzieren ϕ ". Gibt es eine Möglichkeit, diese Behauptung förmlich zu formulieren? Insbesondere:

  1. Wie würde man einen Beweis der Bedingungen (notwendig und hinreichend) formulieren, unter denen eine Symmetrie von ρ führt zu einer Symmetrie ϕ ?
  2. Wenn sie existiert, wie drückt man die induzierte Symmetrie explizit in Bezug auf die bekannte Symmetrie aus?
  3. Kann ein solches Ergebnis für beliebige lineare PDEs verallgemeinert werden, deren Quellterme eine gewisse Symmetrie aufweisen?

Es scheint mir, als müsste es einen prägnanten, eleganten und allgemeinen Weg geben, das Obige zu formulieren und zu beweisen, aber ich kann im Moment nicht alle Punkte miteinander verbinden.

1 Siehe zum Beispiel in Griffiths, Beispiel 2.3, p. 72: „ Nehmen wir an, dass es genau nach Osten zeigt, auf den ‚Äquator‘. Aber die Ausrichtung des Äquators ist absolut willkürlich – hier dreht sich nichts, also gibt es keine natürliche „Nord-Süd“-Achse – jedes Argument, das dies beweisen könnte E Punkte nach Osten könnten genauso gut verwendet werden, um anzuzeigen, dass sie nach Westen oder Norden oder in jede andere Richtung zeigen. Die einzige eindeutige Richtung auf einer Kugel ist radial. "

Ich habe eine Folgefrage ... Gebrochene Symmetrie, bei der die Symmetrie einer Lösung geringer ist als die Symmetrie der Gleichung, ist in der Quantenfeldtheorie üblich. Warum passiert das beispielsweise nicht in der klassischen Elektrostatik?
Wenn Sie wirklich etwas Einfaches formeller sagen wollen, denken Sie vielleicht an Symmetrien als Operatoren, die auf einem Raum von Funktionen wirken. Wenn der Operator eine Funktion auf sich selbst abbildet, ist sie symmetrisch. Wenn der Operator mit dem Laplace-Operator (oder was auch immer Ihr Diff-Eq ist) pendelt, ist Ihre Gleichung symmetrisch. Dann ist es leicht zu sehen, dass, wenn eine Funktion auf einer Seite einer symmetrischen Gleichung symmetrisch ist, die andere symmetrisch sein muss.

Antworten (1)

Lassen D sei der Operator, der deiner Gleichung entspricht ( − ϵ 0 ∇ 2 in diesem Fall). Lassen U ein Operator sein, der der Symmetrie entspricht. Es kann sich um eine Rotations- oder Paritätstransformation usw. handeln.

Wenn U F = F , wir sagen die Funktion F ist symmetrisch.

Wenn U D = D U als Operatoren, dann sagen wir, Ihre Gleichung ist symmetrisch.

Lassen, D F = G . Wenn D ist symmetrisch und G symmetrisch ist, können wir leicht zeigen D F = D U F . Wenn wir eine Umkehrung von nehmen können D wir haben bewiesen F ist symmetrisch.

Nehmen Sie eine Umkehrung von D ist dasselbe wie die Gleichung eindeutig lösen zu können. In Ihrem speziellen Fall können wir die Gleichung eindeutig lösen, wenn wir unseren Funktionsraum auf einige Randbedingungen beschränken, z. B. das Verschwinden im Unendlichen.

Dies ist also das Beispiel, das Sie im Sinn hatten, und dies ist eine Formalisierung des Arguments that ϕ muss symmetrisch sein.

Wenn wir die Gleichung jetzt nicht eindeutig lösen können, kann es eine Lücke im Argument geben. Ein besonderer Fall, an den ich denke, ist ein magnetischer Monopol, der rotationssymmetrisch ist, aber die Vektorpotentiallösung hat einen Dirac-String und ist es nicht. Aber irgendwelche zwei Lösungen F Und U F sind in diesem Fall durch eine Eichtransformation verbunden.

Dieses Schlupfloch ist (glaube ich, wenn ich das richtig verstehe) der Punkt, an dem ich feststecke. Es ist mir vollkommen klar, dass, wenn Ihre Gleichung eine gewisse Symmetrie hat, sie auf eine bestimmte Lösung einwirkt F mit dem entsprechenden Symmetrieoperator ergibt eine weitere spezielle Lösung U F , aber die stärkere Anforderung, dass diese beiden Lösungen tatsächlich gleich sind, scheint nicht auf einfache Weise zu folgen, wenn überhaupt. Ich denke, wonach ich suche, ist eine detailliertere Behandlung dessen, wie / wann ersteres letzteres impliziert?
Ich glaube nicht, dass Sie die Lücke in Ihrer Frage berührt haben. In Ihrem speziellen Beispiel ist das Argument that ϕ symmetrisch ist, gilt. Ich habe meine Antwort bearbeitet, um klarer zu sein (deshalb antworte ich lieber in den Kommentaren übrigens)
Formaler Zusammenhang zwischen Symmetrie und Gauß'schem Gesetz
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v