Gleichungen spezieller Funktionen mit Lie-Symmetrien lösen

Der Ansatz der Lügengruppe + Darstellungstheorie für spezielle Funktionen und wie sie das Auftreten der Ode in der Physik lösen, ist absolut erstaunlich. Ich habe unten auf der Bessel-Gleichung ein Beispiel für seine Leistung gegeben.

Kaufmans Artikel beschreibt algebraische Methoden für den Umgang mit Hermite, Legendre & Associated Legendre. Können wir die anderen in diesem Artikel erwähnten speziellen Funktionen nehmen, die als lineare Kombinationen der konformen Symmetrien des Laplace-Operators (ausgedrückt als Elemente der Lie-Algebra) erhältlich sind, und ihre Lösung analog zu der Lösung von Bessel unten erhalten? Ich glaube, es ist so etwas wie eine geometrische Interpretation von Weisners Methode .

Die Besselsche Gleichung scheint zu sagen: Finden Sie eine Funktion in der Ebene, so dass wir, wenn wir sie nach rechts verschieben und dann wieder nach links verschieben, alles lokal (dh differentiell) in Polarkoordinaten, dieselbe Funktion erhalten:

(vgl. Killingbeck, Mathematical Technique's and Applications, Abschnitt 8.21).

Die Idee ist, die Bessel-Gleichung zu nehmen, zu faktorisieren, eine zusätzliche Variable hinzuzufügen, um die Parameter der Faktoren unabhängig zu machen, sodass sie Elemente einer Lie-Algebra werden, die Bedeutung dieser Faktoren zu identifizieren, in diesem Fall zu beachten, dass die Lie-Algebra-Faktoren Übersetzungen in Polar sind Koordinaten, und erkennen, dass es nur ein differentieller Ausdruck einer Symmetrie ist.

Die Besselsche Gleichung ergibt sich aus$LRv = v$wenn du ausdrückst$L$&$R$in Polarkoordinaten. Es ist sinnvoll, sie in Polarkoordinaten auszudrücken, da Bessel aus der Trennung des Laplace-Operators unter der Annahme einer zylindrischen Symmetrie und dem entsteht$LRv = v$Annahme (nicht$LRv = w$) wird durch die Symmetrie des Laplace-Operators motiviert.

Mit dieser Idee können wir aus irgendeinem Grund die Bessel-Gleichung tatsächlich mit einem Bild lösen!:

Wir wollen nur umziehen$\mathcal{J}_n(r,\phi)$in x-Richtung mit dem Operator$e^{a\tfrac{\partial}{\partial x}}$in Polarkoordinaten ausgedrückt:$e^{\tfrac{a}{2}(\mathcal{L}-\mathcal{R})}$und erkennen, dass es gleich sein wird$\mathcal{J}_n(r',\phi')$:

Die letzte Linie ergibt sich also aus dem Ziehen von all dem zum Ursprung und dem Platzieren entlang der x-Achse, hier sehen wir die geometrische Bedeutung der Bessel-Funktionen!

Hypergeometric soll verwandt sein mit$SL(2,R)$Symmetrien, Bessel zu translationalen planaren Symmetrien, die Gamma-Funktion in Bezug auf lineare Symmetrien$y = ax + b$, etc... Gibt es eine einfache einheitliche geometrische Darstellung, wie man mit diesen Babys umgeht?

Es wäre großartig, die anderen Gleichungen, ihre Formulierung und Lösung mit einer geometrischen Interpretation wie dieser zu verstehen.

Verweise:

1. Killingbeck, Mathematische Techniken und Anwendungen, sek. 8.21
2. Vilenkin, Darstellung von Lie-Gruppen und Sonderfunktionen Vol. 1
3. Vilenkin, Spezielle Funktionen und Theorie der Gruppenrepräsentationen
4. Miller, Lügentheorie und spezielle Funktionen
5. Kaufman, Spezielle Funktionen der mathematischen Physik aus Sicht der Lügenalgebra