Zweifel am Stromkreisgesetz von Ampere

Das Kreisgesetz des Ampere besagt

∮ B ⋅ D ℓ   =   μ 0 ICH

Wir können damit das Magnetfeld einer unendlich langen stromdurchflossenen Leitung leicht ableiten. Meine Frage ist, warum muss der Draht unendlich lang sein? Ich weiß, dass es etwas damit zu tun hat B an jedem Punkt konstant und tangential zur Schleife zu sein, um das Integral leicht auswerten zu können, aber ich kann keine Erklärung für meine Frage finden.

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Wir verwenden den idealisierten Fall eines unendlich langen Stroms, um (durch Symmetrie) begründen zu können, dass die Stärke des Felds nur von der Radialkoordinate abhängt R , damit er aus dem Integral herausgenommen werden kann, da wir nur über den Winkel integrieren, der einen Kreis um den Draht parametrisiert:

∮ B ⋅ D ℓ = B ∫ 0 2 π R   D θ = 2 π R B = μ 0 ICH ⟹ B = μ 0 ICH 2 π R

Wenn der Draht nicht unendlich lang ist, können Sie ihn zum Ende bewegen, wo es offensichtlich ist, dass der B -Feld sollte nicht nur von der radialen Koordinate abhängen, daher schlägt unsere einfache Rechnung fehl. In der Praxis kann man diesen Idealfall sehr oft als gute Näherung für das Feld in der Nähe des Drahtes verwenden - solange der Abstand vom Draht viel kleiner ist als die Länge des Drahtes, entspricht der Effekt ziemlich genau dem eines unendlichen Drahtes .

"wo es offensichtlich ist, dass das B-Feld nicht nur von der radialen Koordinate abhängen sollte, schlägt unsere einfache Berechnung fehl": Ich denke, wenn Sie das Biot-Savart-Gesetz anwenden, können Sie auch gegen Ende sehen, dass es immer noch tangential zur kreisförmigen Schleife ist . Und das ist, denke ich, die Frage von OP. Ich denke, die wahrscheinliche Antwort lautet: Wir können nicht nur endliche gerade stromführende Drähte nehmen, ohne die Kontinuitätsgleichung zu verletzen.
@ user22180 Für dieses System sind die natürlichen Koordinaten zylindrisch. Nehmen Sie den Draht mit X = j = 0 ⟹ R = 0 . Dann hat das Feld eines unendlichen Drahtes Translationssymmetrie in der z − Richtung, aber ein endlicher Draht nicht. Das bedeutet für einen endlichen Draht B = B ( R , z ) , also kann unsere einfache Formel nicht stimmen. Es ist klar, dass das Feld direkt neben der Mitte eines endlichen Drahtes nicht dasselbe sein kann wie das Feld neben und über dem Draht.
siehe das Magnetfeld ist immer noch tangential. Und ich stimme Ihnen zu, dass im Fall von endlichem Draht die Größenordnung der B → hängt auch von z ab. Aber es kommt nicht darauf an ϕ was in diesem Fall des Linienintegrals wichtig ist. Da es nicht darauf ankommt ϕ Sie können immer noch das Magnetfeld aus dem Integral herausnehmen und Sie haben B(r,z)= μ 0 ICH 2 π R . Dies ist jedoch inkonsistent, da die linke Seite die Abhängigkeit von Z zeigt (so ist unsere Intuition), die rechte Seite jedoch keine Abhängigkeit von Z zeigt. Ich denke, das ist die Frage von OP.
Ich denke, Sie bekommen diese Inkonsistenz, wenn Sie die Kontinuitätsgleichung brechen, indem Sie nur einen endlichen stromführenden Draht allein nehmen.
@ user22180 Ich verstehe zwar Ihren Standpunkt ("woher kommt der Strom?!"), Ich habe lediglich darauf hingewiesen, dass die Unabhängigkeit von ϕ ist irrelevant. Für einen endlichen Draht gilt B = μ 0 ICH 2 π R ist einfach falsch, da das Feld über dem Draht immer schwächer wird, was sich in dieser Formel NICHT widerspiegelt . Mathematisch müssen wir haben B → 0 als | z | → ∞ für jeden endlichen Draht. Die einfache Lösung ist also wirklich falsch, und das hat nichts mit der Kontinuitätsgleichung zu tun.
Mein eigentlicher Zweifel war - - wir können das Integral leicht auswerten, wenn B konstant und tangential zur Schleife ist. Dies geschieht bei einem endlichen Draht. Warum kann ich das Amperegesetz nicht anwenden? Ich weiß, dass es das falsche Ergebnis liefert, aber warum?
Dies geschieht aus den Gründen, die ich unten skizziert habe - man verliert die Übersetzungsinvarianz in der z − Richtung, so dass es unmöglich wird, darauf zu schließen B = B ( R ) , was uns zu der einfachen Lösung geführt hätte. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, besteht darin, zu beobachten, dass der eingeschlossene Strom ebenfalls wird z − in diesem Fall abhängig.

Zunächst möchte ich Ihnen vorschlagen, die Kommentare zu lesen, die ich in der Antwort von Danu gemacht habe, um zu überprüfen, ob ich Ihre Frage verstanden habe oder nicht.

Sehen, ∮ B ⋅ D ℓ   =   μ 0 ICH wurde nur auf der Grundlage von abgeleitet ∇ → × B → = μ 0 J → . Aber eigentlich ist die Maxwell-Gleichung ∇ → × B → = μ 0 ( J → + ϵ 0 ∂ E → ∂ T ) was mit der Kontinuitätsgleichung übereinstimmt .

Jetzt im Fall von unendlichem Draht ∇ → × B → = μ 0 J → im interessierenden Bereich ausreichend ist ∇ → ⋅ J → = 0 .

Aber im Fall von endlichem Draht allein kommt es zu einer Ladungsakkumulation in dem endlichen Draht, so dass ∇ → ⋅ J → + ∂ ρ ∂ T = 0 . So relevant ist die Maxwell-Gleichung ∇ → × B → = μ 0 ( J → + ϵ 0 ∂ E → ∂ T ) . Siehe das Amperesche Gesetz in diesem Fall ist durch this gegeben , nicht durch die ∮ B ⋅ D ℓ   =   μ 0 ICH . Sie wenden also eine falsche Formel an und erhalten deshalb eine falsche Antwort.

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