Unterschiedliche Ausdrücke zylindrischer EM-Wellen, wenn sie von einer eindimensionalen oder dreidimensionalen Wellengleichung abgeleitet werden?

Question

Unterschiedliche Ausdrücke zylindrischer EM-Wellen, wenn sie von einer eindimensionalen oder dreidimensionalen Wellengleichung abgeleitet werden?

Sorën

Betrachten wir elektromagnetische Zylinderwellen. Aus den ebenen Wellen lassen sich Zylinderwellen unter Berücksichtigung der Energieerhaltung ableiten: Da die Leistung konstant sein muss, muss die Amplitude einer Zylinderwelle mit abnehmen $\sqrt{r}$ . Daher muss ein zylindrischer Wellenausdruck vorliegen

E (R, T) = \frac{E_{0}}{\sqrt{R}} S ich N (k R - ω T)

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)$

Die Funktion $\sqrt{r} \mathbf{E}(r,t)$ erfüllt die eindimensionale Wellengleichung

\frac{\partial^{2} ξ}{\partial R^{2}} - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial T^{2}} = 0

$\frac{\partial^2\xi}{\partial r^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=0$

In komplexer Schreibweise wird die zylindrische Welle

\begin{matrix} (1) & E (R, T) = \frac{E_{0}}{\sqrt{R}} e^{J (k R - ω T)} \end{matrix}

$\mathbf{E}(r,t)=\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} e^{j(kr-\omega t)}\tag{1}$

Wenn wir anrufen $\xi$ ein generischer Bestandteil von $\mathbf{E}$ , ist die dreidimensionale Wellengleichung

\nabla^{2} ξ - \frac{1}{C^{2}} \frac{\partial^{2} ξ}{\partial T^{2}} = ◻ ξ = 0

$\nabla^2\xi-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}=\square \xi=0$

Die Lösung in Zylinderkoordinaten ist

\begin{matrix} (2) & ξ (R, ϕ, z, T) = \sum_{ω, N, H} R_{ω, N, H}^{0} H_{N} (R \sqrt{\frac{ω^{2}}{C^{2}} - H^{2}}) e^{J (N ϕ + H z - ω T)} \end{matrix}

$\xi (r,\phi , z,t) =\sum_{\omega,n,h} R^{0}_{\omega, n, h } H_n\Bigg(r \sqrt{\frac{\omega^2}{c^2}-h^2}\Bigg) e^{j(n\phi +hz-\omega t)} \tag{2}$

Wo $R^{0}_{\omega, n, h }$ eine (komplexe) Konstante und ist $H_n$ ist die Hankel-Funktion der Ordnung $n$ .

Unter der Annahme der zylindrischen Symmetrie der Welle, das heißt

\frac{\partial ξ}{\partial ϕ} = 0 A N D \frac{\partial ξ}{\partial z} = 0

$\frac{\partial \xi}{\partial \phi}=0 \,\,\,\,\,\, \mathrm{and} \,\,\,\,\,\, \frac{\partial \xi}{\partial z}=0$ die asymptotische Näherung von

(2)

$(2)$ (für

r >> \frac{c}{ω}

$r >> \frac{c}{\omega}$ ) führen zu einem Feld, das dasselbe ist wie

(1)

$(1)$ .

Meine Frage ist: warum (unter zylindrischer Symmetrie) ist $(2)$ gleich $(1)$ nur auf große entfernungen?

Das dachte ich immer $(1)$ gibt unter allen Umständen den Ausdruck einer zylindrischen Welle. So ist $(1)$ "falsch" für klein $r$ ? Oder sind $(1)$ Und $(2)$ zwei verschiedene Dinge beschreiben? Wenn ja, was sind die Unterschiede?

(Ich habe einen identischen Zweifel für Kugelwellen).

Emilio Pisanty

Beachten Sie, dass Sie in dieser Frage Konventionen mischen: if you use

j

$j$ für

\sqrt{- 1}

$\sqrt{-1}$ , dann solltest du schreiben

e^{j (ω t - k x)}

$e^{j(\omega t-kx)}$ wie es die Ingenieure tun; wenn Sie ein positives Vorzeichen haben müssen

k x

$kx$ , verwenden

i

$i$ stattdessen. Dies sind Konventionen zwischen Ingenieuren und Physikern, und Sie brechen sie auf eigene Gefahr (es kann und wird Ihnen auf der ganzen Linie Schmerzen bereiten), und Sie sollten sie nicht an einer Stelle brechen, die andere in die Lage versetzt, Ihre Notation verwenden zu müssen .

Antworten (3)

Unterschiedliche Ausdrücke zylindrischer EM-Wellen, wenn sie von einer eindimensionalen oder dreidimensionalen Wellengleichung abgeleitet werden?

Beachten Sie, dass Sie in dieser Frage Konventionen mischen: if you use $j$ für $\sqrt{-1}$ , dann solltest du schreiben $e^{j(\omega t-kx)}$ wie es die Ingenieure tun; wenn Sie ein positives Vorzeichen haben müssen $kx$ , verwenden $i$ stattdessen. Dies sind Konventionen zwischen Ingenieuren und Physikern, und Sie brechen sie auf eigene Gefahr (es kann und wird Ihnen auf der ganzen Linie Schmerzen bereiten), und Sie sollten sie nicht an einer Stelle brechen, die andere in die Lage versetzt, Ihre Notation verwenden zu müssen .

Ruslan · Answer 1

Die Energieeinsparung allein reicht nicht aus, um eine exakte Lösung für eine Zylinderwellengleichung zu erhalten. Sie erhalten die richtige asymptotische Lösung,

E (R, T) \sim \frac{E_{0}}{\sqrt{R}} S ich N (k R - ω T) als R \to \infty,

$\mathbf{E}(r,t)\sim\frac{\mathbf{E}_0}{\sqrt{r}} \mathrm{sin}(kr-\omega t)\;\text{ as }\;r\to\infty,$

aber es ist nur das – asymptotisch als $r\to\infty$ , und ungültig für $r\to0$ .

Um zu sehen, was passiert, betrachten Sie die Krümmung der Wellenfront weit vom Ursprung entfernt und in dessen Nähe. Sie werden sehen, dass die Wellenfront weit vom Ursprung entfernt fast flach ist, sodass Sie die Wellenfunktion mit einer (verblassenden) Sinuskurve annähern können. Aber in der Nähe des Ursprungs ist die Wellenfront ziemlich gekrümmt, und ihre Krümmung wird am Ursprung unendlich. Da muss eindeutig etwas anders werden.

Es ist wichtig zu verstehen, dass unabhängig von den Koordinaten, die Sie zum Lösen der Wellengleichung wählen, jede Lösung immer noch die Lösung bleibt – vorausgesetzt, Sie interessieren sich nur für den Bereich, in dem die Lösung nichtsingulär ist. Also zum Beispiel die Funktion

F (X, j, z, T) = J_{0} (k \sqrt{X^{2} + j^{2}}) e^{ich ω T}

$f(x,y,z,t)=J_0\left(k\sqrt{x^2+y^2}\right)e^{i\omega t}$

löst immer noch die 3D-Wellengleichung, ebenso wie die Funktion

G (X, j, z, T) = Sünde (k X) e^{ich ω T}

$g(x,y,z,t)=\sin(kx)e^{i\omega t}$

und viele andere.

Was die durch Bessel/Neumann/Hankel-Funktionen dargestellten Lösungen unterscheidet, ist ihr besonderes Verhalten bei Rotation um den Ursprung: Solche Lösungen sind Eigenfunktionen des Rotationsoperators.

Wie konvertiert ihr eure $\cos$ -Lösung einer Bessel-Funktion? Da wir wollen, dass die Lösung eine Eigenfunktion des Rotationsoperators ist (der Einfachheit halber betrachten wir die eine Invariante unter Rotation), besteht eine der Möglichkeiten darin, über alle Richtungen zu integrieren . Hier ist ein Beispiel für $0\text{th}$ Ordnung Bessel-Funktion:

J_{0} (R) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} \cos (R \cos φ) D φ .

$J_0(r)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} \cos(r\cos\varphi)\,\mathrm d\varphi.$

Hier ergibt die Interferenz aller gedrehten Kosinusse automatisch beides: Fading with $r\to\infty$ um die Energieerhaltung zu erfüllen, und Änderungen der Wellenlänge für $r\to0$ um das "Zusammenklumpen" der Wellen in der Nähe des Ursprungs zu berücksichtigen.

Wenn ich fragen darf, sehe ich nicht ein, warum Energieüberlegungen einen Ausdruck dafür geben $\mathbf{E}(r,t)$ Das gilt nicht in der Nähe der Achse: Was meinen Sie mathematisch mit der "Krümmung" der Wellenfront? Es ist sehr vernünftig, dass die Wellenfront in der Nähe der Quelle (z. B. einem unendlich langen Draht) nicht mit dieser einfachen Funktion beschrieben werden kann, sondern nur durch Energiebetrachtung erhält man diesen Ausdruck.
@Sørën weißt du, was Krümmung ist? Ich meine genau das. Betrachten Sie einfach den Unterschied zwischen den Ausbreitungsrichtungen in nahe gelegenen Punkten: Weit vom Ursprung entfernt sind sie größtenteils parallel, sodass Ihre Welle nahe genug an einer flachen Welle liegt, während die Richtungen in der Nähe des Ursprungs ziemlich stark variieren, wenn Sie sich von Punkt zu Punkt bewegen.

flippiefanus · Answer 2

Zylinderkoordinaten machen nur in zwei oder mehr Dimensionen wirklich Sinn, wo $(x,y)\rightarrow (r,\phi)$ würde die Transformation von kartesischen zu Zylinderkoordinaten darstellen. Wenn Sie nur eine Dimension haben, dann die Transformation $x\rightarrow r$ ist insofern trivial, als dass es nichts wirklich verändert. Sie erhalten also etwas, das immer noch wie der kartesische Fall aussieht. Aus diesem Grund sieht die Lösung in (1) eher wie die Lösung für ebene Wellen aus, die Sie für den kartesischen Fall in zwei oder mehr Dimensionen hätten.

Übrigens, in zwei (oder mehr) Dimensionen enthält die Lösung in Zylinderkoordinaten eher die Bessel-Funktionen als die Hankel-Funktionen, weil man annehmen würde, dass die Lösung am Ursprung endlich ist.

Die Laufwelle ist sowieso Hankel-Funktion. Es kann im Allgemeinen am Ursprung nicht endlich sein.
@Ruslan: was meinst du mit der "laufenden Welle"? Die Lösung in drei Dimensionen für einen Bereich, der den Ursprung enthält, muss am Ursprung endlich sein, um physikalisch zu sein. Eine solche Lösung enthält nur die Bessel-Funktion. Ein Beispiel dafür sind die Moden in einer optischen Faser.
Eine laufende Welle kann beispielsweise von einer zylindrischen Oberfläche mit endlichem Radius ausgehen (oder von dieser absorbiert werden). Außerhalb des Zylinders wird die Lösung durch Hankel-Funktionen dargestellt und ist endlich. Innerhalb des Zylinders hängt die Lösung davon ab, welches Medium vorhanden ist und wie es mit dem Medium außerhalb interagiert. Das hängt alles von Randbedingungen (und deren Platzierung!) ab, man darf die zweite Lösung einer Differentialgleichung nicht einfach verwerfen, weil sie irgendwo divergiert .

JEB · Answer 3

Beachten Sie auch die Begriffe Nah- und Fernfeld. Die exakte Lösung enthält beides. Im Fernfeld existieren nur Wanderwellen ( $1/r^2$ Leistung für sphärische Fälle), die sich ebenen Wellen asymptotisch annähern. Das Nahfeld fällt schneller ab (daher: "nah"), außerdem kann es zu Phasenunterschieden bei der antreibenden Schwingung kommen - beispielsweise kann Leistung ins Feld und zurück zur Antenne gelangen. Ich glaube, der Kreditkartenchip ist ein Nahfeldgerät und daher sicherer als RFID – das Ihre Informationen ausstrahlt.

Unterschiedliche Ausdrücke zylindrischer EM-Wellen, wenn sie von einer eindimensionalen oder dreidimensionalen Wellengleichung abgeleitet werden?

Sorën

Emilio Pisanty

Antworten (3)

Ruslan

Sorën

Ruslan

flippiefanus

Ruslan

flippiefanus

Ruslan

JEB

Unmöglich, EM-Ebenenwellen in Kugelwellen zu zerlegen? (Normalisierungsfehlanpassung)

Ein Unterschied zwischen Plane Wave und Collimated?

Kann sich die Natur einer EM-Welle nach der Interaktion mit einem Gerät ändern?

Verwenden eines komplexen Exponentials zur Darstellung von Wellen in EM [Duplikat]

Ausbreitung mechanischer Wellen im Vakuum

Wie zeichnet man alle elektrischen Feldvektoren, die mit einer em-Welle verbunden sind?

Warum breiten sich EM-Wellen zeitlich vorwärts und nicht rückwärts aus?

Hat eine reflektierte Welle eine beliebige Phasenverschiebung?

ω2c2−k2z−−−−−−√ω2c2−kz2\sqrt{\frac{\omega ^2}{c^2}-k_z^2} in Zylinderharmonischen

Zusammenhang zwischen Wellenzahl und Ausbreitungskonstante