ω2c2−k2z−−−−−−√ω2c2−kz2\sqrt{\frac{\omega ^2}{c^2}-k_z^2} in Zylinderharmonischen

Du verpasst nichts. Du hast Recht,$k=\omega/c$. Das Argument$\sqrt{\frac{\omega ^2}{c^2}-k_z^2}$in der Bessel-Funktion ist die Projektion des Wellenvektors auf die radiale Richtung.

Die Verwendung von Bessel-Funktionen trübt das Geschehen ein wenig. Denken Sie daran, dass eine ebene Welle mit Wellenvektor$\vec{k}$hat die funktionelle Variation$\psi(\vec{r}) = e^{i\,\vec{k}\cdot\vec{r}} = \exp(i\,(k_x\,x + k_y\,y+k_z\,z))$mit$k^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2$.

Nun sind die zylindrischen Moden Überlagerungen von ebenen Wellen mit gemeinsamem$k_z$, und damit üblich$k_x^2+k_y^2 = k^2 - k_z^2 = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - k_z^2$. Parametrierung solcher ebener Wellen durch$k_x = -k_r \,\cos\theta,\,k_y = -k_r \,\sin\theta$, Wo$k_r = \sqrt{k^2-k_z^2}$, Schreiben$x = r\,\cos\phi$Und$y = r\,\sin\phi$(um Cartesianer in Polare umzuwandeln) und dann alle diese Wellen mit Gewichten zu summieren$e^{i\,\nu\,\theta}$in der Superposition (die immer noch eine Lösung der linearen Helmholtz-Gleichung ist) erhalten wir:

$$\begin{array}{lcl}\psi_S(r,\,\phi,\,z) &=& \int_{\theta=0}^{2\,\pi} \exp\left(i\,\left(\nu\,\theta -k_r\,r\,\cos(\theta-\phi)\right)\right)\,e^{i\,k_z\,z}\,\mathrm{d}\theta\\&=&e^{i\,\nu\,\phi}\,e^{i\,k_z\,z}\,\int_{\theta=0}^{2\,\pi} \exp\left(i\,\left(\nu\,\theta -k_r\,r\,\cos\theta\right)\right)\mathrm{d}\theta\\&=&\frac{2\,\pi}{i^n}\,e^{i\,\nu\,\phi}\,e^{i\,k_z\,z}\,J_\nu(\sqrt{k^2-k_z^2}\,r)\end{array}$$

wo wir die Definition verwendet haben$J_n(z)= \frac{i^n}{2 \pi} \int_0^{2\,\pi} e^{i(n \theta- z \cos\theta)} \,\mathrm{d}\theta$. Sie sehen also, dass die Wellenzahl stillsteht$k$und wir haben die von Ihnen zitierte Funktion mit radialer Wellenzahl wiederhergestellt$\sqrt{k^2-k_z^2}$und wir erkennen den vollständigen Ausdruck für einen zylindrischen Modus.