Unmöglich, EM-Ebenenwellen in Kugelwellen zu zerlegen? (Normalisierungsfehlanpassung)

Question

Unmöglich, EM-Ebenenwellen in Kugelwellen zu zerlegen? (Normalisierungsfehlanpassung)

PhotonQ

Ich habe ein Problem mit einer Erweiterung, die einfach sein sollte. Nehmen wir an, ich löse Maxwell-Gleichungen im Vakuum, aber in sphärischen Koordinaten. Die Lösungen der TM-Familie lassen sich leicht finden

E_{l M}^{T M} (k; R) \propto \sqrt{l} J_{l + 1} (k R) v_{l}^{M} (θ, ϕ) - \sqrt{l + 1} J_{l - 1} (k R) W_{l}^{M} (θ, ϕ),

$E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r}) \propto \sqrt{l}j_{l+1}(kr)\mathbf{V}^m_l(\theta,\phi)-\sqrt{l+1}j_{l-1}(kr)\mathbf{W}^m_l(\theta,\phi),$ Wo

l = 1, 2, 3, . . .

$l=1,2,3,...$ ,

m = - l, . . ., l

$m=-l,...,l$ ,

k = ω / c

$k=\omega/c$ ist der Wellenvektor,

j_{l} (z)

$j_l(z)$ ist die sphärische Bessel-Funktion der Ordnung

l

$l$ , und die Winkelabhängigkeit ist durch Kombinationen von Vektorkugelflächenfunktionen gegeben (nicht wichtig für diesen Beitrag). Eine ähnliche Lösung kann für die TE-Moden gefunden werden.

Nehmen wir nun an, ich habe eine ebene Welle $\mathbf{E} = \mathbf{E}_0e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$ die ich in Bezug auf die obigen Eigenmoden in Kugelkoordinaten erweitern möchte. Genauer gesagt, wenn die elektrische Energie einer solchen ebenen Welle ist $U = \int dV \epsilon_0\vert \mathbf{E}\vert^2/2 = \epsilon_0 \vert \mathbf{E}_0\vert^2V/2$ , frage ich mich, wie viel solcher Energie in der sphärischen Eigenmode steckt $TM_{klm}$ . Angenommen, die ebene Welle wird zerlegt als

E = \sum_{l M} \sum_{σ} C_{l M} E_{l M}^{σ} (k; R),

$\mathbf{E} = \sum_{lm}\sum_\sigma c_{lm} E^{\sigma}_{lm}(k;\mathbf{r}),$ mit

σ = T M, T E

$\sigma = TM,TE$ , können wir leicht feststellen, dass der Bruchteil der Energie, die an die geht

T M_{k l m}

$TM_{klm}$ Modus ist

F = \frac{1}{| E_{0} |^{2} v} {(\int D v E_{0} e^{- ich k R} \cdot \frac{E_{l M}^{T M} (k; R)}{\sqrt{\int D v | E_{l M}^{T M} (k; R) |^{2}}})}^{2} .

$F = \frac{1}{\vert \mathbf{E}_0\vert^2V}\left(\int dV \mathbf{E_0}e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\cdot \frac{E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})}{\sqrt{\int dV \vert E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})\vert^2}}\right)^2.$ Nun sind die Winkelintegrale

r -

$r-$ unabhängig, und die radiale integrale Abhängigkeit ist leicht zu finden als

lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} D R R^{2} J_{λ}^{2} (k R) \to \frac{π R}{2 k^{2}} \propto v^{1 / 3},

$\lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 j_\lambda^2(kr)\to \frac{\pi R}{2 k^2} \propto V^{1/3},$

lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} D R R^{2} \int D θ D ϕ e^{- ich k R} \cdot E_{l M}^{T M} (k; R) \propto lim_{R \to \infty} \int_{0}^{R} D R R^{2} J_{λ}^{2} (k R) \to \frac{π R}{2 k^{2}} \propto v^{1 / 3},

$\lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 \int d\theta d\phi e^{-i\mathbf{k}\mathbf{r}}\cdot E^{TM}_{lm}(k;\mathbf{r})\propto \lim_{R\to\infty}\int_0^R dr r^2 j_\lambda^2(kr)\to \frac{\pi R}{2 k^2} \propto V^{1/3},$ für alle

λ

$\lambda$ . Dann ist der gesuchte Bruch

F \propto v^{- \frac{2}{3}} \to 0

$F \propto V^{-\frac{2}{3}} \to 0$ an der Grenze des unendlichen Volumens.

Dies geschieht für alle Moden und hängt damit zusammen, dass die Modennormierung in kartesischen Koordinaten proportional dazu ist $V$ während es in Kugelkoordinaten proportional zu ist $V^{1/3}$ . Dies lässt mich denken, dass es nicht möglich ist, eine kartesische ebene Welle in Kugelwellen zu erweitern, aber dies muss aufgrund physikalischer Argumente falsch sein.

Weiß jemand wo ich einen Fehler mache? oder bin ich auf eine echte Einschränkung der sphärischen vs. kartesischen Koordinaten gestoßen? Wenn ja, was ist die physikalische Intuition dahinter, dass es nicht möglich ist, eine elektromagnetische ebene Welle in Kugelwellen zu erweitern?

Danke!

Emilio Pisanty

Dies ist sicherlich für eine Skalarwelle möglich , und Ihre Probleme scheinen nicht spezifisch für den Vektorfall zu sein. Ich vermute daher, dass es auf die von Ihnen verwendete Methode ankommt, aber ich verstehe Ihre Strategie nicht vollständig, also verstehe ich kann nicht sicher sein. Ich würde etwas Ähnliches wie im Skalarfall versuchen (die räumliche Abhängigkeit jeder Komponente zerlegen und dann den Vektoraspekt mit der Winkelabhängigkeit verbinden und nach einer Verbindung zu den Vektorharmonischen suchen), aber es sieht chaotisch und weniger natürlich aus als für der skalare Fall.

PhotonQ

Sie haben Recht, ich hätte das Problem möglicherweise in Bezug auf eine Skalarwelle ausgedrückt. In diesem Fall sind die Ausdrücke einfacher, aber das Problem bleibt bestehen. Wenn ich den Ausdruck aus deinem Link nehme,

PhotonQ

Sie haben Recht, für eine Skalarwelle sind die Ausdrücke einfacher, aber das Problem bleibt: Wenn ich den Ausdruck von Ihrem Link nehme (im 2D-Polarkoordinatensystem),

e^{ich k R} = \sum_{N = - \infty}^{\infty} (- ich)^{N} J_{N} (k R) e^{ich N θ},

$e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta},$ Ich finde, dass die Normabhängigkeit mit dem Bereich noch variiert. Einerseits,

\int_{0}^{\infty} D R D θ R | e^{ich k R} |^{2} = lim_{R \to \infty} π R^{2},

$\int_0^\infty drd\theta r \vert e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} \vert^2 = \lim_{R\to\infty} \pi R^2,$ und andererseits,

\int D R D θ R | \sum_{N = - \infty}^{\infty} (- ich)^{N} J_{N} (k R) e^{ich N θ} |^{2} \propto lim_{R \to \infty} \frac{R}{2 k} .

$\int drd\theta r \vert \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta}\vert^2\propto \lim_{R\to\infty} \frac{R}{2k}.$

Emilio Pisanty

Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung, was Sie dort tun, und es gibt nicht genug Details, um es vollständig zu bewerten. Diese beiden Integranden sind nachweislich identisch. Wenn Sie sie also integrieren und unterschiedliche Ergebnisse erhalten, liegt das Problem in der Integration. Um darüber hinauszugehen, müssten Sie ausführlicher erklären, wie Sie diese berechnen, und die Skalarwelleneinstellung würde es Ihnen ermöglichen, detaillierter auf die Integrationen einzugehen.

Antworten (1)

Unmöglich, EM-Ebenenwellen in Kugelwellen zu zerlegen? (Normalisierungsfehlanpassung)

Dies ist sicherlich für eine Skalarwelle möglich , und Ihre Probleme scheinen nicht spezifisch für den Vektorfall zu sein. Ich vermute daher, dass es auf die von Ihnen verwendete Methode ankommt, aber ich verstehe Ihre Strategie nicht vollständig, also verstehe ich kann nicht sicher sein. Ich würde etwas Ähnliches wie im Skalarfall versuchen (die räumliche Abhängigkeit jeder Komponente zerlegen und dann den Vektoraspekt mit der Winkelabhängigkeit verbinden und nach einer Verbindung zu den Vektorharmonischen suchen), aber es sieht chaotisch und weniger natürlich aus als für der skalare Fall.
Sie haben Recht, ich hätte das Problem möglicherweise in Bezug auf eine Skalarwelle ausgedrückt. In diesem Fall sind die Ausdrücke einfacher, aber das Problem bleibt bestehen. Wenn ich den Ausdruck aus deinem Link nehme,
Sie haben Recht, für eine Skalarwelle sind die Ausdrücke einfacher, aber das Problem bleibt: Wenn ich den Ausdruck von Ihrem Link nehme (im 2D-Polarkoordinatensystem), $e^{ich k R} = \sum_{N = - \infty}^{\infty} (- ich)^{N} J_{N} (k R) e^{ich N θ},$ $e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta},$ Ich finde, dass die Normabhängigkeit mit dem Bereich noch variiert. Einerseits, $\int_{0}^{\infty} D R D θ R | e^{ich k R} |^{2} = lim_{R \to \infty} π R^{2},$ $\int_0^\infty drd\theta r \vert e^{i\mathbf{k}\mathbf{r}} \vert^2 = \lim_{R\to\infty} \pi R^2,$ und andererseits, $\int D R D θ R | \sum_{N = - \infty}^{\infty} (- ich)^{N} J_{N} (k R) e^{ich N θ} |^{2} \propto lim_{R \to \infty} \frac{R}{2 k} .$ $\int drd\theta r \vert \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-i)^nJ_n(kr)e^{in\theta}\vert^2\propto \lim_{R\to\infty} \frac{R}{2k}.$
Um ehrlich zu sein, habe ich keine Ahnung, was Sie dort tun, und es gibt nicht genug Details, um es vollständig zu bewerten. Diese beiden Integranden sind nachweislich identisch. Wenn Sie sie also integrieren und unterschiedliche Ergebnisse erhalten, liegt das Problem in der Integration. Um darüber hinauszugehen, müssten Sie ausführlicher erklären, wie Sie diese berechnen, und die Skalarwelleneinstellung würde es Ihnen ermöglichen, detaillierter auf die Integrationen einzugehen.

Elio Fabri · Answer 1

$\def\bk{{\bf k}} \def\br{{\bf r}} \let\th=\vartheta \let\phi=\varphi \let\d=\delta$ Sie haben bereits gesehen, dass das Problem auch für eine Skalarwelle besteht, also lassen Sie uns diesen Fall untersuchen, der zu viel einfacheren Formeln führt. Die Kugelwellenausdehnung einer ebenen Welle ist

e^{ich k \cdot R} = 4 π \sum_{l = 0}^{\infty} \sum_{M = - l}^{l} {ich}^{l} J_{l} (k R) {Y_{l}^{M}}^{*} (a, β) Y_{l}^{M} (ϑ, φ) .

$e^{i\,\bk\cdot\br} = 4\pi \sum_{l=0}^\infty\,\sum_{m=-l}^l i^l j_l(kr)\,{Y_l^m}^*(\alpha,\beta)\,Y_l^m(\th,\phi).$ Wenn Sie versuchen, die ebene Welle zu normalisieren

e^{i k \cdot r}

$e^{i\,\bk\cdot\br}$ und die Kugelwelle

j_{l} (k r) Y_{l}^{m} (ϑ, φ)

$j_l(kr)\,Y_l^m(\th,\phi)$ Sie geraten in Schwierigkeiten, wenn Sie Grenzen überschreiten.

Die Physik dahinter ist die folgende. Eine ebene Welle hat im ganzen Raum eine gleichmäßige Energiedichte, und es ist sinnvoll, von der in einem Volumen enthaltenen Energie zu sprechen $V$ , zB ein Seitenwürfel $L$ . Dies gilt jedoch nicht für die Kugelwelle, die ein Zentrum hat und von diesem weg schwächer wird. Asymptotisch, $j_l(kr)\sim1/r$ . Sie können die Welle auf einen kugelförmigen Hohlraum mit Radius beschränken $R$ , dann lass $R$ ins Unendliche gehen. Aber die beiden Kästen (kubisch und kugelförmig) passen nicht zusammen.

Der Ausweg ist zu benutzen $\delta$ Normalisierung . Ich weiß nicht, ob Sie mit diesem mathematischen Gerät vertraut sind, und kann nicht näher darauf eingehen. Die üblichen Normalisierungen sind:

Wenn $\psi_{\bk_1}(\br)$ , $\psi_{\bk_2}(\br)$ sind ebene Wellen mit Wellenvektoren $\bk_1$ , $\bk_2$
$\int ψ_{k_{1}} (R)^{*} ψ_{k_{2}} (R) D^{(3)} R = δ^{(3)} (k_{1} - k_{2})$ $\int\!\psi_{\bk_1}(\br)^*\,\psi_{\bk_2}(\br)\,d^{(3)}\br = \d^{(3)}(\bk_1-\bk_2)$ Und $ψ_{k} (R) = (2 π)^{- 3 / 2} e^{ich k \cdot R} .$ $\psi_{\bk}(\br) = (2\pi)^{-3/2} e^{i \bk\cdot\br}.$
Wenn $\chi_{l_1}^{m_1}(k_1;r,\th,\phi)$ , $\chi_{l_2}^{m_2}(k_2;r,\th,\phi)$ sind Kugelwellen mit Wellenvektoren $k_1$ , $k_2$ und Multipolmodi $l_1,m_1$ , $l_2,m_2$ , Dann
$\int χ_{l_{1}}^{M_{1}} (k_{1}; R, ϑ, φ)^{*} χ_{l_{2}}^{M_{2}} (k_{2}; R, ϑ, φ) R^{2} D R Sünde ϑ D ϑ D φ = δ (k_{1} - k_{2}) δ_{l_{1} l_{2}} δ_{M_{1} M_{2}} .$ $\int\!\chi_{l_1}^{m_1}(k_1;r,\th,\phi)^*\, \chi_{l_2}^{m_2}(k_2;r,\th,\phi)\> r^2 dr\,\sin\th\,d\th\,d\phi = \d(k_1-k_2)\,\d_{l_1l_2}\,\d_{m_1m_2}.$ Und $χ_{l}^{M} (k; R, ϑ, φ) = \frac{{ich}^{l}}{k} J_{l} (k R) Y_{l}^{M} (ϑ, φ) .$ $\chi_l^m(k;r,\th,\phi) = {i^l \over k}\,j_l(kr)\,Y_l^m(\th,\phi).$

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Elio Fabri

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