Ist dies eine mögliche Herleitung der elektromagnetischen Wellengleichung?

Etwas Hintergrund:

Ich habe versucht, elektromagnetische Wellen zu verstehen, wie sie sich ausbreiten und wie sie erzeugt werden. Nach einigem Googeln und Wikipedia(ing?) habe ich erfahren, dass wir die EM-Wellen-Gleichungen verwenden , um zu modellieren, wie sie sich ausbreiten. Jede einzelne Ableitung, die ich online gesehen habe, macht jedoch ungefähr Folgendes:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Nehmen Sie die Locke von beiden Seiten

$$\nabla\times\nabla\times{B}=\nabla\times\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Ersatz für$\nabla\times E$

$$-\nabla^2B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t}{\partial t}(\nabla\times E)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t^2\mathbf{\vec B}}{\partial t^2}$$

Nach einer kleinen Umordnung haben wir nun die Wellengleichung, die die magnetische Komponente der elektromagnetischen Welle beschreibt...

$$\frac{\partial_t^2\mathbf{\vec B}}{\partial t^2}=c^2\nabla^2B$$

Obwohl diese Ableitung super einfach und elegant ist, verstehe ich den physikalischen Denkprozess rund um jede Aktion, die wir ausführen, nicht wirklich, weil ich neu in diesem Bereich der Mathematik und Physik bin. Zum Beispiel kann ich Locken physikalisch verstehen, aber das Locken von Locken ist mir ein völliges Rätsel.

Aus diesem Grund habe ich versucht, eine andere Herleitung zu finden, die es einfach macht, dem physikalischen Denkprozess hinter jedem Schritt zu folgen. Nach ein bisschen Herumspielen glaube ich, ich habe etwas:

Die Ableitung:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ $$\nabla\times{B}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t\mathbf{\vec E}}{\partial t}$$

Diese beiden Maxwell-Gleichungen beschreiben das Verhalten des elektrischen und magnetischen Felds im 3D-Raum (ohne Ladungen oder Ströme). Im Allgemeinen sagen sie, dass ein sich änderndes Magnetfeld ein elektrisches Feld hat, das sich um es „dreht“ oder kräuselt, und ein sich änderndes elektrisches Feld ein Magnetfeld hat, das sich darum kräuselt.

Lassen Sie uns nun ein Diagramm einer Situation zeichnen, in der wir ein sich änderndes Magnetfeld haben. Der Einfachheit halber gehen wir davon aus, dass das Magnetfeld nur nach oben zeigt (y-Richtung), das elektrische Feld aus dem Bildschirm heraus zeigt (z-Richtung) und die Welle sich nur in einer Dimension ausbreitet (x-Achse):

Als Ergebnis dieser Vereinfachungen können wir die beiden Gleichungen so umschreiben, dass die Bewegung auf der y- und z-Achse entfernt wird:

Schreibweise von curl ($\nabla\times F)$laut Wikipedia:

Elektrische Komponente:

$$\nabla\times{E}=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$ Da das Magnetfeld nur in y-Richtung zunimmt, nehmen die x- und z-Komponenten ab$\nabla\times E$wird null sein:

$$0i + \left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)j + 0k=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$

Denn wir betrachten nur die Bewegung auf der x-Achse, dem Term$\frac{\partial E_x}{\partial z}$entfernt und wir haben übrig:

$$0i + \left(-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)j + 0k=-\frac{\partial_t\mathbf{\vec B}}{\partial t}$$

Betrachtet man nur die Größenordnung:

$$\frac{\partial E_z}{\partial x}=\frac{\partial_t B}{\partial t}$$

Wir können das gleiche für$\nabla\times B$und dann haben wir die beiden Gleichungen in 1-D-Form:

$$\partial E=\frac{\partial_t B}{\partial t}\partial x$$ $$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E}{\partial t}\partial x$$

Nehmen wir an, es gibt ein Magnetfeld am Ursprung,$B_0$, dessen y-Komponente mit einer Rate von zunimmt$\frac{\partial_tB_0}{\partial t}$.

Die gleichung:$\partial E=\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x$, sagt uns, dass, wenn wir uns um eine infinitesimale Distanz auf der x-Achse bewegen ($\partial x$) Weg von$B_0$, das elektrische Feld wird um zunehmen$\frac{\partial_t B}{\partial t}\partial x$. Das bedeutet, dass dieses zunehmende Magnetfeld ein senkrechtes, zunehmendes elektrisches Feld induziert$E_1$was gleich ist$\int{\partial E}$:

Die zweite Gleichung,$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E_1}{\partial t}\partial x$, sagt uns, dass dieses zunehmende elektrische Feld auch ein magnetisches Feld induziert:

Jetzt haben wir ein schönes Bild davon, wie das zunehmende Magnetfeld ein zunehmendes elektrisches Feld induziert und umgekehrt. Wir haben auch diese beiden Gleichungen, die die Wechselwirkung zwischen den beiden beschreiben:

$$\partial E=\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x$$ $$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t E_1}{\partial t}\partial x$$

Ersetzen$\int{\partial E}=\int{\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x}$für$E_1$wir erhalten, wie sich das Magnetfeld mit der Zeit ändert:

$$\partial B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t}{\partial t}\left(\int{\frac{\partial_t B_0}{\partial t}\partial x}\right)\partial x$$

Um die Wellengleichung zu erhalten, nehmen wir einfach die Ableitung beider Seiten und eliminieren das Integral:

$$\partial^2 B=\frac{1}{c^2}\frac{\partial_t^2 B_0}{\partial t^2}\partial x^2$$ Bei sehr geringen Entfernungen$B = B_0=B_2$, und nach einer kleinen Umordnung erhalten wir die eindimensionale Gleichung, die die magnetische Komponente der elektromagnetischen Welle beschreibt.

$$\frac{\partial^2B}{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2B}{\partial x^2}$$

Wir können dasselbe für die elektrische Komponente tun:

$$\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=c^2 \frac{\partial^2E}{\partial x^2}$$

Meine Frage:

Ist diese Herleitung/Erklärung richtig? Macht es Sinn und ist die Mathematik in ihren Schritten korrekt? Wenn ja, ist es in seiner Erklärung nützlich oder gibt es andere Ableitungen, die besser darin sind, eine intuitive / konzeptionelle Vorstellung davon zu geben, was passiert?

Ich hoffe, dass es so ist, denn obwohl es lang ist, finde ich, dass es ein schönes Bild davon gibt, was physikalisch passiert, anstatt nur Vektorrechnungsoperationen an den Maxwell-Gleichungen durchzuführen. Für mich war der schwierigste Teil der Versuch, die Ausbreitung von EM-Wellen zu visualisieren, und jede einzelne Ableitung, die ich sah, übersprang einfach die physikalische Erklärung und ging zur Mathematik über, die keine intuitive Erklärung lieferte. Jeder Input wäre sehr willkommen :)