Herleitung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen

Ich werde mich setzen$\epsilon_0=\mu_0=1$. Nun lauten die Maxwell-Gleichungen:

$$\nabla . \textbf{E} = \rho$$ $$\nabla . \textbf{B} = 0$$ $$\nabla \times \textbf{E} = -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t}$$ $$\nabla \times \textbf{B} = \left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$ und wir haben die Identität $$\begin{equation} \nabla \times (\nabla \times\textbf{V}) = \nabla(\nabla.\textbf{V}) - \nabla^2\textbf{V} \end{equation}$$

Gehen Sie nun genauso vor wie im Vakuum

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{E}) = \nabla \times -\frac{\partial\textbf{B}}{\partial t} = -\frac{\partial}{\partial t}(\nabla \times \textbf{B})=-\frac{\partial}{\partial t}\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)$$

während die LHS wird:

$$\nabla(\nabla.\textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E}=\nabla(\rho) - \nabla^2\textbf{E}$$

Wenn wir RHS und LHS neu anordnen, erhalten wir

$$\nabla^2\textbf{E}-\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

Einfacher ausgedrückt

$$\Box\textbf{E}=\textbf{C}$$ Wo $$\textbf{C}=\nabla\rho +\frac{\partial}{\partial t}\textbf{J}$$

Nun zum Fall von$\textbf{B}$

$$\nabla \times (\nabla \times \textbf{B})=\nabla \times\left(\textbf{J} + \frac{\partial\textbf{E}}{\partial t}\right)= \nabla \times\textbf{J} + \frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\textbf{E})=\nabla \times\textbf{J} -\frac{\partial^2\textbf{E}}{\partial t^2}$$ wie für LHS haben wir

$$\nabla(\nabla.\textbf{B}) - \nabla^2\textbf{B}=\nabla(0) - \nabla^2\textbf{B}$$

Wenn wir RHS und LHS neu anordnen, erhalten wir

$$\nabla^2\textbf{B}-\frac{\partial^2\textbf{B}}{\partial t^2}=-\nabla \times\textbf{J}$$

in einfacheren Worten

$$\Box \textbf{B}=\textbf{F}$$ Wo $$\textbf{F}=-\nabla \times\textbf{J}$$

Das Setzen von Quellen hat also letztendlich zu dem geführt, was wir als inhomogene Wellengleichung bezeichnen , was einfach ist

$$\Box f(t,\vec{x})=h(t,\vec{x})$$ dasselbe wie im Fall der Laplace- und Poisson-Gleichung in Kapitel 3.

Bonusmaterial (ich gehe von Tensoren aus): Maxwell-Gleichungen sind Lorentz-kovariante Gleichungen (so trugen sie zum Einstein-Triumph der speziellen Relativitätstheorie bei), selbst als sie in der Ära der Newtonschen Mechanik entdeckt wurden. Lorentz-Kovarianz Ein anderer Begriff, um zu sagen, dass eine bestimmte physikalische Größe dem Transformationsgesetz verschiedener Trägheitsreferenzrahmen in der speziellen Relativitätstheorie gehorcht.

Sie haben vielleicht auch bemerkt, wie chaotisch es wird, jedes Mal curl und div in der obigen Berechnung zu nehmen, und Sie werden es sehen, wenn Sie die Gleichung der Kapitel 10 und 12 von Griffiths Buch vergleichen$\vec{J},\rho, A_\mu$. Ich werde eine grobe Skizze der obigen Berechnung im Lichte von SR liefern.

Wir definieren eine Größe namens 4-Vektor, eine Verallgemeinerung von Vektoren in 4 Dimensionen des Minkowski-Raums

$$A_{\mu}=(V, A_x, A_y, A_z)$$ $$J_{\mu}=(\rho, J_x, J_y, J_z)$$

Definieren Sie eine Größe namens elektromagnetischer Stärketensor

$$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$$

Die Maxwell-Gleichung kann umformuliert werden als

$$\partial^\nu F_{\mu\nu}=J_\mu$$ Und $$\partial_{[\mu} F_{\nu\lambda]}=0$$

Lassen Sie die zweite Gleichung beiseite (es ist eigentlich eine Tautologie), konzentrieren wir uns auf die erste Gleichung und erweitern sie in Bezug auf$A_\mu$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$

$$\partial^\nu(\partial_\mu A_\nu)-\partial^\nu(\partial_\nu A_\mu)=J_\mu$$ Neuordnung der Begriffe, die wir haben $$\partial_\mu(\partial^\nu A_\nu)-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$

Jetzt verwenden wir die Lorentzlehre und stellen ein$\partial^\nu A_\nu$also bleiben wir letztendlich übrig

$$-(\partial^\nu\partial_\nu) A_\mu=J_\mu$$ was nichts anderes ist $$-\Box A_\mu = J_\mu$$

Das ist einfach die Wellengleichung verschiedener Potentiale unter Anwesenheit verschiedener Quellen, die Sie wiederherstellen können$\vec{E}$,$\vec{B}$aus$A_\mu$. Möglicherweise haben Sie nichts aus diesem Bonusmaterial mitbekommen, wenn es Ihre erste Begegnung mit 4-Vektoren, Tensoren, Einstein-Summierung, Eichtransformation/Freiheit ist. Was ich Ihnen eigentlich zeigen wollte, war vorerst ertragen in dem komplizierten Durcheinander von Berechnungen und wenn Sie mit Kapitel 12 von Griffith fertig sind, werden Sie eine andere Sicht auf die Elektrodynamik als Ganzes haben.

Die Tatsache, dass die elektrischen und magnetischen Felder Wellengleichungen dieser Form gehorchen, ist eine direkte Folge der Annahme, dass es keine Ladungen oder Ströme gibt. Wenn diese Annahmen gelockert werden *, dann wird in Schritt 11 der Term, der auf Null geht, tatsächlich nicht Null sein (beachten Sie, dass Ihre Vektoridentität falsch geschrieben ist; das sollte es sein$\nabla \times \nabla \times \textbf{E} = \nabla(\nabla . \textbf{E}) - \nabla^2\textbf{E})$. Was Sie am Ende haben, ist:

$$\frac{1}{\epsilon_0}\nabla \rho - \nabla^2\textbf{E} = -\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \textbf{E}}{\partial t^2}$$

Das Vorhandensein dieses zusätzlichen Begriffs bedeutet, dass dies nicht länger das ist, was wir als Wellengleichung betrachten; Im Allgemeinen wird es nicht linear sein und es wird sicherlich keine schönen sinusförmigen Lösungen geben.

Beachten Sie auch, dass Sie, wenn Sie diese Gleichungen nicht im Vakuum betrachten möchten, wenn sich die Welle in einem linearen, homogenen Material** ausbreitet, einfach ersetzen können$\mu_0$Und$\epsilon_0$mit dem$\mu$Und$\epsilon$des Mediums.

*Der Einfachheit halber nehme ich einen zeitinvarianten Strom an, so dass er in der Zeitableitung in (8) verschwindet, aber Sie könnten diese Annahme leicht lockern und zu einer ähnlichen Schlussfolgerung mit einer anderen Endform kommen.

** Ohne diese Annahmen$\mu$Und$\epsilon$wird vom Raum abhängen und wieder nehmen Ihre Gleichungen mit unterschiedlichen Lösungen eine andere Form an.

Es ist viel einfacher, die Wellengleichung durch die in kovarianter Form geschriebenen Maxwell-Gleichungen abzuleiten . Dann lesen sie

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = -j^\mu / \epsilon_0 ~~.$$ Als$F^{\mu\nu} = \partial^mu A^\nu - \partial^\mu A^\nu$, das wird $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu \partial^\nu A^\mu = -j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ In der Lorenz-Spur,$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial_\mu j^\mu = 0$, daraus wird die Wellengleichung für das Potential $$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = j^\mu/\epsilon_0 ~~.$$ Wenn Sie möchten, können Sie finden$E$Und$B$direkt von$A^\mu$.