Die Rolle der Trennungskonstante bei der Lösung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen & Grenzwellenzahl

Question

Die Rolle der Trennungskonstante bei der Lösung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen & Grenzwellenzahl

Eduard

Ich habe die folgende Wellengleichung, bei deren Lösung ich Hilfe durch Trennung der Variablen benötige:

\nabla^{2} E + k^{2} E = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$ Wobei E das elektrische Feld und k die Wellenzahl ist

Verwendung der Variablentrennung für jede Komponente:

E_{ich} (X, j, z) = F (X) G (j) H (z), wobei i = x , y , z

$E_i(x,y,z) = f(x)g(y)h(z) \text{ , where i = x , y , z}$

Für eine einzelne Komponente:

(F_{X X}) (G) (H) + (F) (G_{j j}) (H) + (H_{z z}) + k^{2} (F G H) = 0

$(f_{xx})(g)(h) + (f)(g_{yy})(h) + (h_{zz}) + k^2(fgh) = 0$

oder

F_{X X} / F + G_{j j} / G + H_{z z} / H + k^{2} = 0

$f_{xx}/f + g_{yy}/g + h_{zz}/h + k^2 = 0$

Mein Physikleser überspringt eine Reihe von Schritten und schreibt es als 3 separate Gleichungen:

F_{X X} / F = - k_{X}

$f_{xx}/f = -k_x$

G_{j j} / G = - k_{j}

$g_{yy}/g = -k_y$

H_{z z} / H = - k_{z}

$h_{zz}/h = -k_z$

und definiert den Wellenzahlvektor k . Ich denke, wir gehen von einer komplexen Lösung aus, da wir ein Endergebnis erhalten von:

E = e^{- k \circ R}

$E = e^{ - \mathbf{k} \circ \mathbf {r} }$

Mein technischer Leser schreibt die gleichen Gleichungen wie:

F_{X X} / F = - k_{X}

$f_{xx}/f = -k_x$

G_{j j} / G = - k_{j}

$g_{yy}/g = -k_y$

H_{z z} / H = γ

$h_{zz}/h = \gamma$

wobei Gamma die Ausbreitungskonstante ist und die folgende Gleichung ergibt

- k_{X} - k^{j} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$

Frage 1 : Warum kann die Ausbreitungskonstante (eine komplexe Zahl) ein anderes Vorzeichen haben? Denn ich dachte:

- k^{2} = - | | k | |^{2} = - (k_{X}^{2} + k_{j}^{2} + γ^{2})

$-k^2 = - || \mathbf{k} ||^2 = -(k_x^2 + k_y^2 + \gamma^2)$

Was in der Mathematik ist los?

Frage 2 : Warum wird die Wellengleichung nicht mit der folgenden Form geschrieben/gelöst

\nabla^{2} E + k_{C}^{2} E = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k_c^2 \mathbf{E} = 0$

wenn andere Quellenangabe

k_{C u T}^{2} = γ^{2} + k^{2}

$k_{cut}^2 = \gamma^2 + k^2$ wobei Gamma die Ausbreitungskonstante ist, k die Wellenzahl und kc die Grenzwellenzahl ist?

Fürs Protokoll, sie haben es vereinfacht und sind dann zum Endergebnis gesprungen und haben mich aus der Herleitung gelassen

\nabla^{2} E + (γ^{2} + k^{2})^{2} E = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + (\gamma^2 + k^2)^2 \mathbf{E} = 0$

Ich bekomme nicht die "richtige" Antwort, nämlich:

H_{X} = \frac{- 1}{K_{C}^{2}} (γ \frac{D}{D X} H_{z} + J ω ϵ \frac{D}{D j} E_{z})

$H_x = \frac{-1}{K_c^2}( \gamma \frac{d}{dx} H_z + j \omega \epsilon \frac{d}{dy} E_z)$

Frage 3 : Wann verwenden wir:

\nabla^{2} E + k^{2} E = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + k^2 \mathbf{E} = 0$

gegen

\nabla^{2} E + γ^{2} E = 0

$\nabla^2 \mathbf{E} + \gamma^2 \mathbf{E} = 0$

Notation :

γ = a + J β

$\gamma = \alpha + j \beta$

k = - J a + β

$k = - j \alpha + \beta$

Alpha ist die Dämpfungskonstante
Beta ist die Phasenkonstante / "Ausbreitungswellenzahl"

Bearbeitungen wie gewünscht. Das Buch ist Elemente des Elektromagnetismus

Gert

Bist du dir sicher

- k_{x} - k^{y} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$ ist richtig?

Eduard

Ja! Überprüfen Sie den Reader, den ich gepostet habe

Antworten (2)

Die Rolle der Trennungskonstante bei der Lösung der Wellengleichung für elektromagnetische Wellen & Grenzwellenzahl

Bist du dir sicher $-k_x - k^y + \gamma^2 = - k^2$ ist richtig?

Patrick · Answer 1

Die Trennung von Variablen ermöglicht es, drei Konstanten (die imaginär sein können) einzuführen, die gehorchen

a^{2} + β^{2} + γ^{2} = - k^{2} .

$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -k^2.$ Man könnte diese drei Konstanten natürlich auch anders definieren, so dass sich die Vorzeichen ändern. Sie entscheiden sich zu schreiben

- k_{X}^{2} - k_{j}^{2} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_x^2-k_y^2 + \gamma^2 = -k^2$ weil sie voraussehen, dass die Randbedingungen, die sie später auferlegen, so sein werden, dass bei dieser Vorzeichenwahl die Konstanten

k_{x}, k_{y}

$k_x,k_y$ Und

γ

$\gamma$ wird echt sein.

Nikolaus Soulis · Answer 2

Antwort auf Frage 1

Wie Ihr Buch in Gleichung (12.7) sagt:

- k_{X}^{2} - k_{j}^{2} + γ^{2} = - k^{2}

$-k_{x}^2-k_{y}^2+\gamma^2 = -k^2$ durch Multiplikation mit

- 1

$-1$ und das Ziehen der Quadratwurzel ist äquivalent zu:

k = \sqrt{k_{X}^{2} + k_{j}^{2} - γ^{2}}

$k = \sqrt{k_{x}^2+k_{y}^2-\gamma^2}$ Beachten Sie, dass Sie einen Vorzeichenfehler für gemacht haben

γ

$\gamma$ in deiner Gleichung. Wenn jetzt:

k_{x}^{2} + k_{y}^{2} < γ^{2}

$k_{x}^2+k_{y}^2 < \gamma^2$ Dann

k

$k$ ist imaginär, sonst ist es real. Die Existenz von

j

$j$ (Quadratwurzel von -1) oder sein Fehlen beeinflusst das Vorzeichen von

k

$k$ . Denken Sie jetzt daran

k

$k$ ist nicht die Prorogationskonstante selbst,

γ

$\gamma$ ist, wie es in Ihrem Buch unten erwähnt wird, Gleichung (12.8c). Dieselbe Logik gilt für das Warum

γ

$\gamma$ kann sein Vorzeichen geändert haben.

Antwort auf Frage 3

Wir verwenden immer die erste Gleichung (Helmholtz-Gleichung), die Sie erwähnt haben $k$ Beachte Gleichung (12.4). Beachten Sie Gleichung (12.7) für das Wie $k$ bezieht sich auf die anderen Konstanten.

Antwort auf Frage 2

Hier: $k_{cut}^2 = k_{x}^2+k_{y}^2$ die Interpretation ist die "Grenzwellenzahl" für einen bestimmten Modus in einem Wellenleiter. Dies gilt jedoch speziell für rechteckige Wellenleiter. Dies ergibt sich, wenn $\gamma = 0$ für solche Wellenleiter aus Gleichung (12.7) und Sie können damit die Grenzfrequenzen für bestimmte Moden finden. Nun, wenn Sie meine Antwort auf Ihre 3. Frage im Hinterkopf behalten, wissen Sie, dass Sie verwenden müssen $k$ in der Helmholtz-Gleichung NICHT $k_{cut}$ . Wenn Sie davon ausgehen:

E = \hat{E} (X, j) e^{- γ z}

$\textbf{E} = \hat{\textbf{E}}(x,y)e^{-\gamma z}$

was Sie anhand der Gleichungen (12.9) bestätigen können, aber hier betrachte ich nur die Ausbreitung in +z-Richtung. Lassen Sie uns nach dem auflösen $E_{z}$ Komponente zum Beispiel dann:

\frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial j^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}} + k^{2} E_{z} = 0

$\frac{\partial^2 E_{z}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_{z}}{\partial z^2} + k^2E_{z} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{E_{z}}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{E_{z}}}{\partial j^{2}} + γ^{2} \hat{E_{z}} + k^{2} \hat{E_{z}} = 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} + \gamma^2 \hat{E_{z}} + k^2\hat{E_{z}} = 0$

\frac{\partial^{2} \hat{E_{z}}}{\partial X^{2}} + \frac{\partial^{2} \hat{E_{z}}}{\partial j^{2}} + \hat{E_{z}} * (k_{X}^{2} + k_{j}^{2}) = 0

$\frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \hat{E_{z}}}{\partial y^2} +\hat{E_{z}} * (k_{x}^2+k_{y}^2) = 0$

dann löst man auf $\hat{E_{z}}$ und dann können Sie jede andere Komponente finden, indem Sie die Entkopplungsgleichungen aus den Maxwell-Gesetzen verwenden.

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Eduard

Gert

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Antworten (2)

Patrick

Nikolaus Soulis

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