Maxwellsche Gleichungen für elektromagnetische Wellen

Guten Tag, ich studiere Physik an der Universität Padova, ich muss diese Aufgabe für meine Klausur zu elektromagnetischen Feldern lösen, habe aber andere Probleme. Der Text ist folgender:

Das elektrische Feld einer elektromagnetischen Welle ist:

E = E 0 Sünde ⁡ ω T ( Sünde ⁡ ω z , cos ⁡ ω z , 0 ) .
Ich muss das Magnetfeld finden B , dann muss ich die Maxwell-Gleichung für verifizieren E Und B , und schließlich muss ich das 4-Potenzial finden A μ in der Lorenzspur.

Zunächst einmal habe ich überlegt N Ausbreitungsrichtung der Welle:

N = ( 0 , 0 , 1 )

Also dachte ich, B ist das Kreuzprodukt von N und E habe ich erhalten:

B = N × E = E 0 Sünde ⁡ ω T ( − C Ö S ω z , S ich N ω z , 0 )

Und dieses Ergebnis schien mir vernünftig, weil das Skalarprodukt zwischen E und B null ist.

Im leeren Raum erwarte ich, dass die Divergenz von E und B null ist und in diesem Fall bestätigt wird. Die anderen beiden Maxwell-Gleichungen begründen:

∇ × E + ∂ B ∂ T = 0

E 0 ω Sünde ⁡ ω T ( S ich N ω z , C Ö S ω z , 0 ) + E 0 ω cos ⁡ ω T ( − C Ö S ω z , S ich N ω z , 0 ) = E 0 ω ( − C Ö S ( ω T + ω z ) , S ich N ( ω T + ω z ) , 0 )

Aber auf diese Weise können Sinus und Cosinus nicht gleichzeitig verschwinden, sie haben das gleiche Argument!

∇ × B − ∂ E ∂ T = 0

E 0 ω Sünde ⁡ ω T ( − C Ö S ω z , S ich N ω z , 0 ) − E 0 ω cos ⁡ ω T ( S ich N ω z , C Ö S ω z , 0 ) = E 0 ω ( − S ich N ( ω T + ω z ) , − C Ö S ( ω T + ω z ) , 0 )

Es besteht das gleiche Problem wie zuvor.

Dann habe ich versucht zu erhalten A μ .

A = B ω

∇ × A = ∇ × B ω = 1 ω ∇ × B = B

Weil ich es gemerkt habe

∇ × B = ω B

Dann wollte ich erhalten A 0

E = ∂ A ∂ T − ∇ A 0

Aber ich habe hier aufgehört, weil meiner Meinung nach zu viele Fehler in meiner Argumentation sind. Die Maxwell-Gleichung wird nicht verifiziert.

Wenn jemand die Lösung hat, werde ich ihm unendlich dankbar sein

Es scheint seltsam zu sein ω z im Ausdruck für das elektrische Feld. Sollte da nicht der Wellenvektor sein, k ? Deine Vermutung, B = N × E erscheint ungerechtfertigt und stößt auch auf Dimensionierungsprobleme. Abgesehen davon, dass B senkrecht zu E steht, ist nicht klar, wie Sie darauf kommen.
Ping @ user1583209 , ich habe die Ableitung in meine Antwort aufgenommen, wenn Sie daran interessiert sind. Sie können die vermeiden C in Nicht-SI-Einheiten wo B → Und E → haben die gleichen Einheiten; in SI-Einheiten ist es B → = C − 1 k ^ × E → Wo k ^ der Einheitsvektor in Richtung von ist k → .

Antworten (2)

Ich würde lieber das Faradaysche Gesetz verwenden, um das Magnetfeld zu erhalten:

∇ × E = − ∂ B ∂ T = E 0 ω Sünde ⁡ ω T ( Sünde ⁡ ω z , cos ⁡ ω z , 0 )
B = E 0 cos ⁡ ω T ( Sünde ⁡ ω z , cos ⁡ ω z , 0 )

Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, dies zu lösen; einer wurde oben von @Ismasou gegeben.

Eine andere ist die Methode, die Sie anscheinend verwenden, die Methode der ebenen Wellen. Die Wellengleichung im Vakuum ∇ 2 E = C 2 E ¨ wird durch Begriffe gelöst, die wie aussehen F ( k → ⋅ R → − ω T ) für ω / | k → | = C . Wir können unsere Koordinaten so wählen, dass das elektrische Feld in der liegt X ^ Richtung und die Ausbreitung ist in der z ^ Richtung also für einen Phasenwinkel haben wir E → = E 0   X ^   cos ⁡ ( k z − ω T + φ ) oder so. Wir tun, was Ismasou mit dieser einfacheren Welle vorschlägt, und wir finden das ∂ T B → = − j ^ ( ∂ z E X − ∂ X E z ) was einfach ist + j ^   E 0   k   Sünde ⁡ ( k z − ω T + φ ) . Integrieren in Bezug auf T und du findest B → = B → 0 + j ^   E 0   ( k / ω )   cos ⁡ ( ω T − k z ) , Also, die Konstante ignorierend, B → = C − 1 z ^ × E → . Da der Wellenvektor in diesem Fall ist k → = k z ^ wir können dies völlig allgemein machen und sagen, dass für jede solche ebene Welle, wenn N ^ = k → / | k → | , Dann

B → = 1 C N ^ × E → .
Beachten Sie, dass dies nur für ebene Wellen gilt.

OK, jetzt kommen Sie also mit diesem komplizierteren Ausdruck für eine stehende Welle herein,

E → = E 0 Sünde ⁡ ( ω T ) [ Sünde ⁡ ( k z ) cos ⁡ ( k z ) 0 ] .
Das ist keine ebene Welle, also was machen wir? Wir zerlegen es in ebene Wellen. Im Allgemeinen sind stehende Wellen Summen ebener Wellen. Mal sehen, wie das geht.

Wir beginnen mit den Winkelsummenregeln,

cos ⁡ ( ω T ± k z ) = cos ⁡ ( ω T ) cos ⁡ ( k z ) ∓ Sünde ⁡ ( ω T ) Sünde ⁡ ( k z ) , Sünde ⁡ ( ω T ± k z ) = Sünde ⁡ ( ω T ) cos ⁡ ( k z ) ± cos ⁡ ( ω T ) Sünde ⁡ ( k z ) .
Nun versuchen wir diese mit beiden Vorzeichen „umzukehren“. In Ihrem Fall,
Sünde ⁡ ( ω T ) Sünde ⁡ ( k z ) = 1 2 [ cos ⁡ ( ω T − k z ) − cos ⁡ ( ω T + k z ) ] , Sünde ⁡ ( ω T ) cos ⁡ ( k z ) = 1 2 [ Sünde ⁡ ( ω T − k z ) + Sünde ⁡ ( ω T + k z ) ] .
Mit anderen Worten,
E → = E 0 2 [ cos ⁡ ( ω T − k z ) Sünde ⁡ ( ω T − k z ) 0 ] + E 0 2 [ − cos ⁡ ( ω T + k z ) + Sünde ⁡ ( ω T + k z ) 0 ] .
Die erste davon verbreitet sich in der N ^ = + z ^ Richtung, wie Sie an den entgegengesetzten Vorzeichen des Arguments erkennen können F ( ω T − k z ) . (Wenn Sie dies noch nie praktiziert haben, meditieren Sie über den Satz „um zu sehen, was es damit auf sich hat z manchmal T + D T , schau dir an, was es damit auf sich hat T aber irgendwo z − C   D T " bis Sie sehen, dass dies bedeutet, dass sich die Welle in Richtung bewegt + z .) Aber die zweite davon verbreitet sich in der N ^ = − z ^ Richtung, wie Sie an den gleichen Zeichen des Arguments erkennen können F ( ω T + k z ) .

Also durch Überlagerung, die B → Feld für die Summe ist das B → Feld für jeden einzelnen, und Sie können es mit finden 1 C N ^ × E → für jeden einzeln und summiere sie dann zusammen. Dann sollten Sie in der Lage sein, diese Winkelsummenregeln erneut in der "Vorwärts" -Richtung zu verwenden, um den korrekten Ausdruck der stehenden Welle zu erhalten, und was an Ihrem Ansatz falsch war, war, dass Sie die stehende Welle so behandelten, als wäre sie eine Vorwärtsbewegung ebene Welle, obwohl es sich tatsächlich um diese Überlagerung von Vorwärts- und Rückwärtswellen handelt.

Du hast Recht ! Ich hätte eine Überlagerung von ebenen Wellen in Betracht ziehen sollen, keine ebene Welle, ich hatte wirklich einen schlechten Start ... trotzdem vielen Dank! Ich bin dankbar und zufrieden
Maxwellsche Gleichungen für elektromagnetische Wellen
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