Kausale Beziehungen in Lösungen der Maxwell-Gleichungen

Beide Seiten der Maxwellschen Gleichungen sind einander gleich, daher verbindet jede dieser Gleichungen zeitlich gleichzeitige Größen, und folglich kann keine dieser Gleichungen eine kausale Beziehung darstellen:

∇ ⋅ E ( R , T ) = 4 π ρ ( R , T ) ∇ × B ( R , T ) = 4 π C J ( R , T ) + 1 C ∂ E ( R , T ) ∂ T ∇ × E ( R , T ) = − 1 C ∂ B ( R , T ) ∂ T ∇ ⋅ B ( R , T ) = 0

Aber die Lösungen dieser Gleichung ( Jefimenkos Gleichungen ) spiegeln die "Kausalität" wider, da die rechten Seiten "verzögerte" Zeit beinhalten:

E ( R , T ) = ∫ [ R − R ' | R − R ' | 3 ρ ( R ' , T R ) + R − R ' | R − R ' | 2 1 C ∂ ρ ( R ' , T R ) ∂ T − 1 | R − R ' | 1 C 2 ∂ J ( R ' , T R ) ∂ T ] D 3 R ' ,

B ( R , T ) = − 1 с ∫ [ R − R ' | R − R ' | 3 × J ( R ' , T R ) + R − R ' | R − R ' | 2 × 1 C ∂ J ( R ' , T R ) ∂ T ] D 3 R ' ,

Wo R ' ist ein Punkt in der Ladungsverteilung, R ist ein Punkt im Raum, und T R = T − | R − R ' | C ist die verzögerte Zeit.

Die Frage kann rein technisch sein, wie entsteht die „Verzögerung“ in den Lösungen, wenn sie nicht in den ursprünglichen Gleichungen enthalten war?

bedenken Sie Folgendes: Die "nicht-kausale" Version der Maxwell-Gleichungen stammt vom Kopf von Maxwell, aber es gibt nicht unbedingt eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen ihren Lösungen und beobachtbaren Phänomenen. Die Jefimenko-Formulierung ist strenger in dem Sinne, dass nur der "experimentell beobachtete" Teil der Maxwell-Lösungen ausgewählt wird. Jefimenko entzieht den Lösungen gezielt fortschrittliche Potenziale
Die Ableitung von Jefimenko von Maxwell wird in dieser Antwort kurz überprüft , obwohl die Frage anders ist. Gleichung (2) (und die vorhergehende Gleichung) in dieser Ableitung zeigt, wie Retardation entsteht ... aber meinst du das mit "entsteht"? Oder fragen Sie grundlegender, warum Maxwells Gleichungen notwendigerweise die Kausalität respektieren, wie die Frage, die in meinem vorherigen Kommentar verknüpft ist?

Antworten (1)

Sie haben Recht, dass Maxwells Gleichungen keine Kausalität auferlegen. In der Lorenz-Eichung sind die Maxwell-Gleichungen in Bezug auf A a ist eine Wellengleichung

◻ 2 A a = − μ 0 J a

Die Lösung hierfür kann mit der Green'schen Funktion des Operators gefunden werden ◻ 2 . Es gibt zwei mögliche Greensche Funktionen: Die retardierte

G 1 = − δ ( T − T ' − | R − R ' | / C ) 4 π | R − R ' |
und der Fortgeschrittene
G 2 = − δ ( T − T ' + | R − R ' | / C ) 4 π | R − R ' |

Diese beiden Lösungen sind rein mathematisch und können unter Verwendung von Fourier-Transformationen abgeleitet werden . Es wurde noch keine Physik involviert. Daher grundsätzlich A a kann als Linearkombination beider Lösungen geschrieben werden:

A a = μ 0 4 π ∫ ( A G 1 + B G 2 ) J a ( R ' , T ' ) D 3 R ' D T '

Wenn wir dies auf physische Situationen anwenden, ist dies der Fall G 2 wird verworfen, weil es die Kausalität verletzt.

Interessanterweise wiesen Feynman und Wheeler in den 1940er Jahren darauf hin, dass es bestimmte physische Situationen gibt, die beide betreffen könnten G 1 Und G 2 , bekannt als Wheeler-Feynman-Absorbertheorie . Es wurde ursprünglich vorgeschlagen, die Eigenkraft einer beschleunigenden Ladung zu erklären. Sie schlagen vor, dass Emittenten haben A = B = 1 / 2 während Absorber haben A = 1 / 2 Und B = − 1 / 2 , so dass die kombinierte Reaktion auf eine Testladung rein verzögert wird. Eine einfache Diskussion finden Sie hier .

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