Warum stehen die Felder EE\mathbf E und BB\mathbf B einer elektromagnetischen Welle senkrecht aufeinander?

Sie sind nicht. Es gibt viele Situationen, in denen die$\mathbf E$Und$\mathbf B$Felder sind nicht orthogonal zueinander oder (wo letzteres überhaupt definiert werden kann) zum Wellenvektor$\mathbf k$. Bemerkenswerte Beispiele sind eng fokussierte Gaußsche Strahlen, Wellenleiter und Kugelwellen, aber es ist ziemlich einfach (und eine gute Übung), Beispiele mit Überlagerungen von zwei verschiedenen ebenen Wellen zu erfinden.

Andererseits gilt "moralisch" gesprochen, dh in einem ausgesprochen handwelligen Sinne, die Eigenschaft sehr oft immer noch größtenteils, in dem Sinne, dass Ihr Feld einer ebenen Welle ähnlich genug aussieht, um eine einigermaßen gut definierte Ausbreitung zu haben Richtung, zumindest innerhalb eines begrenzten Bereichs, dann sind die elektrischen und magnetischen Felder oft größtenteils orthogonal zueinander und zur Ausbreitungsrichtung. Ein strenges Ergebnis in dieser Richtung kann jedoch nicht gezeigt werden - die einzigen harten Nullen dort kommen auf der PDE-Ebene der Maxwell-Gleichungen.

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Richtig ist , dass bei einer ebenen Welle eine räumliche und zeitliche Abhängigkeit vorliegt

$$\mathbf E(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf E_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{and} \quad \mathbf B(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[\mathbf B_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{},$$ dann kann der Nabla- Operator durch ersetzt werden $\nabla \mapsto i\mathbf k$, Weil $$\nabla\cdot \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[i\mathbf k \cdot \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{} \quad \text{and} \quad \nabla\times \mathbf C(\mathbf r,t) = \mathrm{Re}\mathopen{}\left[i\mathbf k\times \mathbf C_0e^{i(\mathbf k\cdot\mathbf r-\omega t)}\right]\mathclose{},$$ (Wo $\mathbf C=\mathbf E,\mathbf B$); ebenso können Zeitableitungen durch ersetzt werden $\frac{\partial}{\partial t} \mapsto -i\omega$. Daraus können Sie die Maxwell-Gleichungen im Vakuum in der Form wiederherstellen $$\begin{align} i\mathbf k \cdot \mathbf E_0 & = 0 &&& i\mathbf k \cdot \mathbf B_0 & = 0 \\ i\mathbf k \times\mathbf E_0 & = i\omega \mathbf B_0 &&& i\mathbf k \times\mathbf B_0 & = -\frac{i\omega}{c^2} \mathbf E_0. \end{align}$$ Diese implizieren das dann direkt $(\mathbf E_0,\mathbf B_0,\mathbf k)$sind eine rechtshändige orthogonale Triade.

Aber noch einmal, wie oben erwähnt: Diese Eigenschaft und ihr Beweis gelten streng genommen nur für ebene Wellen.

Es gibt viele Situationen, in denen eine Längskomponente von E oder B vorhanden sein kann. Wir sind es gewohnt, an ebene Wellen im Vakuum zu denken. Aber ebene Wellen gibt es in der Natur nicht. Wenn Sie beispielsweise versuchen, einen endlichen Balken zu formen, werden Sie feststellen, dass selbst im freien Raum eine kleine Längskomponente vorhanden ist. Und in Wellenleitern ist es einfach, die Längskomponente von E oder B zu berechnen und zu visualisieren. Aber wenn Sie ebene Wellen im Vakuum annehmen, dann$\nabla \times B$ist proportional zu$k \times B$und ähnlich für E. Setzen Sie diese in die 2 Maxwell-Curl-Gleichungen ein und Sie erhalten nach der Fourier-Transformationszeit ein orthogonales Tripel.

Hinzugefügt . Hier sind einige Zitate zu Arbeiten, die Beispiele von Längsfeldern in endlichen Strahlen im freien Raum zeigen. Ein Strahl mit einem ungleichmäßigen transversalen Intensitätsprofil hat notwendigerweise eine Längskomponente. In anderen Fällen werden die Längskomponenten durch Fokussierung oder Kollimation verursacht.

• Beitrag des elektrischen Längsfeldes eines Gaußschen Strahls zur Erzeugung der zweiten Harmonischen. SR Mishra und KC Rustagi. Option. Kommun. 74 , 419 (1990)

• Gaußsche Laserstrahlen mit radialer Polarisation . K. T. McDonald (2000)

• Grafische Untersuchung der Laguerre-Gaußschen Strahlmoden. RK Arora und Z. Lu. IEE Proc.-Micro. Antennen Propag. 141 , 145 (1994)

Eine schnelle Google-Suche wird noch viele weitere aufdecken. Der Effekt wird viel in der Laserphysik verwendet.

Für eine einzelne monochromatische ebene Welle in einem elektrisch neutralen, gleichmäßigen Medium gilt:$\vec{E}=\partial_t \vec{A}$Und$\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}$sind senkrecht.

Im Allgemeinen, zB für eine Überlagerung solcher Wellen, gilt dies nicht.

Ich denke, das muss wohl schon gefragt werden. Allerdings konnte ich es nicht leicht finden, also versuche ich es kurz zu erklären.

Die zwei Hauptideen sind:

1. Alles, was mit Elektromagnetismus zu tun hat, wird von Maxwells Gleichungen geregelt.
2. $\vec{E}$Und$\vec{B}$stehen nicht immer senkrecht, aber im Vakuum und an der Luft (was die häufigsten Fälle sind).

Der Weg, dies zu beweisen, besteht darin, genau die Maxwell-Gleichungen zu verwenden. Sie sind

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0} & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\vec{J}+\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Aber wenn Sie sich im Vakuum befinden, wo weder Ladung noch Strom vorhanden sind, dann$J=0,\ \rho=0$, und daher

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\cdot\vec{E}=0 & \ & \vec{\nabla}\cdot\vec{B}=0 \\ \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Beachten Sie, dass sie für beide Felder schön ähnlich geworden sind.

Von hier aus können Sie beides zeigen$E$Und$B$die Wellengleichung erfüllen. ... aber die Wellengleichung hat die Lösung ebener Wellen im Vakuum. Für eine ebene Welle haben Sie immer noch

$$\begin{array}{ccc} \vec{\nabla}\times\vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} & \ & \vec{\nabla}\times\vec{B}=\mu_0\varepsilon_0 \dfrac{\partial\vec{E}}{\partial t} \end{array}$$

Beispielsweise ist die x-Komponente der ersten Gleichung

$$\dfrac{\partial E_z}{\partial y}-\dfrac{\partial E_y}{\partial z}=-\dfrac{\partial B_x}{\partial t}$$

und, wenn Sie ersetzen$\vec{E}=\vec{E_0}e^{i(\omega t - k_x x - k_y y - k_z z)}$, Dann,

$$k_y E_z - k_Z E_y = \omega B_x$$

Wenn Sie dasselbe für die restlichen Komponenten tun, sehen Sie das

$$\vec{s}\times \vec{E} = \frac{\omega}{k} \vec{B}$$

So$B$senkrecht zu beiden Ausbreitungsrichtungen steht$\vec{s}$und das elektrische Feld. Die gleichen Ergebnisse können durch Einsetzen in die zweite Gleichung erhalten werden.

Dies folgt direkt aus den Maxwell-Gleichungen. Unter der Annahme einer ebenen Wellenlösung dieser Gleichungen

$$\vec E=\vec E_0 \exp(i\vec k \vec r-i\omega t)\tag 1$$ Gaußsches Gesetz im freien Raum wird $$\nabla \vec E=i\vec k ·\vec E=0 \tag 2$$ Dies bedeutet, dass der elektrische Feldvektor $\vec E$steht senkrecht auf dem Wellenvektor $\vec k$. Andererseits ergibt die Faraday-Maxwell-Gleichung $$\nabla \times \vec E=-\frac {\partial \vec B}{\partial t}=i\vec k \times \vec E=i\omega\vec B \tag 3$$ Dies bedeutet, dass der Magnetfeldvektor $\vec B$steht senkrecht auf beiden der Wellenvektor $\vec k$und der elektrische Feldvektor $\vec E$.

Beachten Sie folgende Kommentare: Diese Ableitung that$\vec E$,$\vec B$Und$\vec k$senkrecht aufeinander stehen, gilt nur für eine ebene EM-Welle , wie in der Annahme des ersten Satzes angegeben. Meine Antwort impliziert nicht oder soll darauf hinweisen, dass diese Beziehung für alle elektromagnetischen Wellen gilt. Beispiele für das Gegenteil gibt es genug.