Wenn Maxwells Gleichungen Felder am selben Punkt in Beziehung setzen, wie können sich dann Wellen zwischen verschiedenen Punkten ausbreiten?

Betrachtung von Materiewellen an einer Saite: Solange die Schwingungen nicht zu groß sind, erhalten wir die Wellengleichung für$f(x, t)$:

Ihre Frage gilt für diese Gleichung genauso gut wie für die Gleichungen von Elektrizität und Magnetismus. Gelten nicht beide Terme in dieser Gleichung nur für einen einzigen Punkt? Wie können sich Störungen durch den Raum ausbreiten, ohne die Lokalität zu verletzen?

Der Schlüssel ist, zur Definition einer partiellen Ableitung zurückzukehren:

Jetzt wird dieser nächste Teil ein wenig von Hand gewellt, da dies die Natur dieser Frage ist. Diese partielle Ableitung interessiert nicht nur$f$am Punkt$(x,t)$. Es kümmert sich auch um den Wert von$f$in einer winzigen, immer kleiner werdenden Nachbarschaft in der Nähe$x$. Ebenso die Ableitung$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$kümmert sich um eine beliebig kleine, aber nicht punktförmige Nachbarschaft$x$.

Angenommen, wir stoppen das Schrumpfen dieser Nachbarschaften irgendwann, damit sie eine Größe haben$\epsilon$. Dann verhält sich unser Modell nicht wie eine Schnur, sondern wie ein Bündel von Punktmassen, die durch Längenfedern verbunden sind$\epsilon$. Allerdings da$\epsilon$auf 0 geht, nähert sich dieses Verhalten dem einer wirklich kontinuierlichen Zeichenfolge an.

Die Kurzversion dieser Antwort lautet also, dass räumliche Ableitungen in Ihrer PDE es ermöglichen, dass Dinge, die an einem Punkt im Raum passieren, andere Punkte im Raum beeinflussen. Das hat etwas mit Derivaten zu tun, die in einer seltsamen Zwielichtzone existieren, wo sie einerseits lokal sind, sich aber andererseits um Veränderung über räumliche Distanz kümmern.

Und räumliche Ableitungen erscheinen in Maxwells Gleichungen in den Termen$\nabla\cdot E$,$\nabla\cdot B$,$\nabla\times E$, Und$\nabla\times B$, also sollte es kein allzu großes Rätsel sein, dass Licht durch den Weltraum reist.

Diese Antwort ist allgemein, aber zu lang für einen Kommentar.

Bei der Modellierung physikalischen Verhaltens mit mathematischen Funktionen muss klar sein:

Reden wir: a) Mathematik erschafft Realität oder b) Mathematik modelliert Realität.

a) ist die platonische Sichtweise und b) die realistische Sichtweise.

Unter a) führt die Vorhersagekraft der Mathematik zu Fragen wie oben und sie werden durch die anderen Antworten beantwortet

Unter b) wundert man sich nicht über die zugrunde liegende quantenmechanische Ebene, die mit einer quantisierten Maxwell-Gleichung modelliert wird, die schließlich die klassischen elektrodynamischen Gleichungen aufbaut, da beide auf der gleichen Mathematik mit unterschiedlicher Anwendung beruhen. Wie die klassische Lichtbeschreibung aus einem Zusammenfluss probabilistischer Photonen in der Quantenfeldtheorie entsteht, wird hier skizziert

Imo ist es die realistische Sichtweise, die Physiker haben sollten, indem sie Mathematik als Werkzeug zur Modellierung neuer Daten verwenden und Fragen zu den Theorien stellen, die zu ihnen passen. So hat sich die Wissenschaft seit Newton entwickelt.

Eine grobe Analogie für die klassische elektromagnetische Welle:

Kartiert man ein ausgetrocknetes Flussbett mathematisch, lässt sich die Form der Wasserströmung bei Regen sofort vorhersagen, lange bevor das Wasser die Biegungen erreicht. In ähnlicher Weise bilden Maxwells Gleichungen die Raumzeit ab, und angesichts der Anfangsbedingungen (Lichtstrahl) ist der "Fluss" wunderbar vorhersehbar.

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Um meine Analogie zu einer Landkarte weiterzuführen, eine Landkarte ist statisch . Das liegt daran, dass die Zeit ein Parameter ist und nicht in die Funktionen einfließt, die eine Karte beschreiben, die sehr genau sein und zur Vorhersage der Bewegung durch sie verwendet werden kann, sondern der Kontext für einen Fluss.

Die Maxwell-Gleichungen sind eine vierdimensionale Karte. Statik hat in vier Dimensionen keine Bedeutung, da Zeit eine der Dimensionen ist. Angesichts der Anfangsbedingungen gibt es eine vollständige Lösung. Die Möglichkeit der Voraussage in der Zeit besteht darin, dass man Zeit und Raum getrennt behandelt. aber die Lösung für gegebene Randbedingungen ist einzigartig in der vierdimensionalen Raumzeit .

Das zugrunde liegende quantenmechanische Niveau von Photonen erklärt auch, warum E und B am selben Raumzeitpunkt Null sein können, was passiert mit der Energie?

Elektromagnetische Wellen kann man sich als sich selbst ausbreitende transversal oszillierende Wellen elektrischer und magnetischer Felder vorstellen. Diese 3D-Animation zeigt eine linear polarisierte Welle, die sich von links nach rechts ausbreitet. Beachten Sie, dass die elektrischen und magnetischen Felder in einer solchen Welle in Phase sind und zusammen Minima und Maxima erreichen.

Die Überlagerung der Billionen von Photonen, aus denen die klassische Welle besteht, ergibt auch eine Wellenfunktion für das gesamte Bündel. Die Nullen bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeit für die Existenz eines Photons an den Punkten, an denen sowohl E als auch B null sind, null ist, sodass Energieerhaltung an allen Raumzeitpunkten durchgeführt werden kann.

Sie haben (grob gesagt) Recht damit, dass „um eine Ausbreitung zu erreichen, ein E˙ oder B˙ an einer Stelle in der Lage sein muss, an einer anderen Stelle ein B˙ oder E˙ zu induzieren“. Dies ist direkt in den Maxwell-Gleichungen zu sehen.

Das sagt das Faradaysche Gesetz$\nabla \times E = -\dot B$. Beachten Sie, dass die Locke eine räumliche Ableitung und der Punkt eine zeitliche Ableitung ist. Ein sich zeitlich änderndes B-Feld ergibt also ein sich räumlich änderndes E-Feld. Dies führt gekoppelte Änderungen über Zeit und Raum ein.

Ähnlich verhält es sich mit dem Ampereschen Gesetz.

Meine eigene Frage beantworten? Nun ja; Meine Sichtweise hat sich entwickelt.

Gedankenexperiment; eine Materiewelle, die sich nicht durch ein Medium ausbreitet.

Stellen Sie sich eine Waffe im Vakuum vor, die sinusförmig senkrecht zu der Achse oszilliert, entlang der sie wiederholt feuert. Die Kugeln bilden im Raum eine Sinuswelle. Die Welle bewegt sich durch den Raum. Es gibt eine Beziehung zwischen jedem Element der Welle und dem nächsten. Das ist Wellentyp „A“.

Während dies eine Materiewelle ist, ist sie eine mediumlose Welle und unterscheidet sich von einer Welle, die sich durch ein Medium ausbreitet, wie z. B. eine Schallwelle, eine Welle auf dem Meer oder eine Welle auf einer Schnur. Dies sind Beispiele für den Wellentyp „B“.

Ich verstehe, dass Licht wie Welle „A“ (oben) ist, es ist eine statische Einheit, die sich durch den Raum bewegt, deren Form am Entstehungspunkt definiert wurde. Jede Beziehung zwischen Welleneigenschaften an zwei Punkten ist eine Folge des Mechanismus, der verwendet wurde, um sie zu erzeugen, es ist keine Einschränkung des freien Raums.

Bei Materiewellen durch ein Medium (Welle "B") wird die Wellenform von der Erzeugungsmechanik beeinflusst, aber letztendlich werden die Eigenschaften des Mediums bei der Ausbreitung dominieren und die Wellenform in Richtung Sinus verschlechtern.

Vielleicht ist es das, was ich die ganze Zeit vermisst habe, dass sich „Feldvektoren“ im oben beschriebenen Sinne selbst wie Materie durch den Raum bewegen.