Nehmen Sie ein homogenes Magnetfeld an im Vakuum, das mit der Zeit variiert, aber immer in die zeigt -Richtung. Dies induziert eine Kräuselung im elektrischen Feld , die auch im Raum einheitlich ist und Punkte in der -Richtung. Wenn wir das Integral davon auf einer horizontalen Schleife berechnen, erhalten wir eine EMF ungleich Null durch die Schleife, was bedeutet, dass das horizontale elektrische Feld zumindest in einem Teil des Raums ungleich Null sein muss. Aufgrund der Translationssymmetrie könnte man argumentieren, dass wenn an einem Punkt ungleich Null ist, muss es überall ungleich Null sein. Außerdem sollte es überall denselben Wert haben, was absurd ist, da dies bedeuten würde, dass die Kräuselung überall Null ist, und die EMF auch wäre.
Wo ist der Fehler in der Argumentation?
Ist es so, dass ein vollkommen gleichförmiges, zeitlich veränderliches Magnetfeld nicht mit den Maxwell-Gleichungen vereinbar ist? Oder hat es etwas damit zu tun, dass die Lorentz/Poincaré-Invarianz die eigentliche Symmetrie des Systems ist?
Mein erster Gedanke war, dass das Feld nicht gleichzeitig einheitlich und abhängig sein kann, da es einige Zeit dauert, bis sich die Änderung im Feld ausbreitet, aber ich hätte gerne eine ausführlichere und / oder mathematischere Antwort, wenn dies der Fall ist richtig.
Der Hauptgrund dafür, dass dieses Argument kontraintuitive Ergebnisse liefert, sind, wie die Kommentare nahelegen, die Randbedingungen. Im Allgemeinen führt die Annahme von Bereichen als unendlich bei der Untersuchung von Differentialgleichungen zu „schlecht benommenen“ Funktionen – Diskontinuitäten, Dirac-Deltas und andere nicht differenzierbare Objekte werden leicht erhalten, wenn Funktionen differenzieren, die auf unendlichen Bereichen leben. (Ein klassisches Beispiel ist ).
Im Wesentlichen geht es darum, dass die Lösung einer Differentialgleichung nicht wirklich eine Funktion ist . Sie haben im Allgemeinen nicht die Eigenschaft, dass Sie sie zu einem bestimmten Zeitpunkt tatsächlich bewerten können, sodass der Versuch, über den Wert der Lösungen nachzudenken, immer zu verwirrenden Ergebnissen führen wird. In diesem Fall benötigen wir zur Lösung Ihres Problems ein solches elektrisches Feld , oder eher
Beachten Sie zunächst, dass die Lösung für ist nicht eindeutig - Hinzufügen eines irrotationalen Feldes zum elektrischen Feld ändert diese Gleichung global nicht. Eine Lösung ist - Daran ist nichts auszusetzen, aber denken Sie daran . ist genauso gut.
Dies ist ein kleines Problem, da elektrische Felder direkt gemessen werden können, zB durch eine Testladung. Um zu entscheiden, welche dieser unendlich vielen Lösungen physikalisch ist, müssten Sie eine Randbedingung für das elektrische Feld spezifizieren.
Sie können jedoch immer noch physikalische Ergebnisse erhalten, ohne die Randbedingungen anzugeben. Betrachten Sie die integrale Form der Maxwell-Gleichungen, in der alle skalaren Divergenzen und Dirac-Deltas implizit integriert wurden.
Wo definiert die Querschnittsfläche der Oberfläche das ist 'mit Blick auf' die Achse.
Dann haben wir ein klares Ergebnis. Das Wechselstromsignal, das eine Drahtschleife aufnimmt, ist ein direktes Maß für die zeitliche Ableitung davon , verstärkt durch die Fläche . Dies ist die relevante Physik.
Keines dieser Probleme tritt auf, wenn Sie Ihr Ladungs- und Stromsystem endlich halten, sodass die Lösungen, die Sie erhalten, wohldefiniert und physikalisch sinnvoll sind.
Aufgrund der Translationssymmetrie könnte man argumentieren, dass wenn an einem Punkt ungleich Null ist, muss es überall ungleich Null sein.
Das können wir nicht, weil wir nichts über die Translationssymmetrie des elektrischen Feldes in diesem System wissen. Das System ist nicht detailliert genug spezifiziert. Wir wissen zum Beispiel nicht, wo die Gebühren liegen.
Wir kennen nur das Magnetfeld im Detail. Aus den Maxwell-Gleichungen können wir jedoch einige Einschränkungen für das elektrische Feld ableiten. Für die Kräuselung des elektrischen Feldes haben wir
da das Magnetfeld einheitlich ist.
Das elektrische Feld ist also zeitlich konstant und wir wissen, dass seine Kräuselung nicht Null ist. Aber daraus können wir nichts ableiten einzigartig. Es gibt unendlich viele gültige elektrische Felder, die diesen Bedingungen genügen, und diese Felder haben nicht notwendigerweise die erwähnte Translationssymmetrie.
Ist es so, dass ein vollkommen gleichförmiges, zeitlich veränderliches Magnetfeld nicht mit den Maxwell-Gleichungen vereinbar ist? Oder hat es etwas damit zu tun, dass die Lorentz/Poicarré-Invarianz die richtige Symmetrie des Systems ist?
Nein und nein.
Mein erster Gedanke war, dass das Feld nicht gleichzeitig einheitlich und zeitabhängig sein kann, weil es Zeit braucht, bis sich die Änderung im Feld ausbreitet ...
Mathematisch gesehen kann das Magnetfeld sowohl gleichmäßig als auch zeitabhängig sein. In Wirklichkeit kennen wir kein solches System und erwarten auch nicht, jemals eines zu finden - alle Magnetfeldsysteme haben ein Feld, das sich im Raum ändert und mit der Entfernung von Quellen abnimmt.
Unendliches gleichförmiges Magnetfeld ist ein mathematischer Spezialfall, kein realistisches EM-Feld.
Puk
Lukas Baldo