Gaußsches Gesetz in einer gleichmäßigen Ladungsverteilung, die sich unendlich in alle Richtungen ausdehnt

Nehmen wir an, das Universum sei mit positiver Ladung gefüllt. Um einen bestimmten Punkt herum sind alle positiv geladenen Teilchen symmetrisch. Betrachten Sie nun eine Kugel mit Radius R < ∞ und wenden Sie das Gaußsche Gesetz an. Gemäß dem Gaußschen Gesetz hat der elektrische Fluss durch die Kugel einen endlichen Wert, da er eine gewisse positive Ladung enthält. Aber aufgrund der Symmetrie wird das elektrische Feld durch die Kugel und damit der elektrische Fluss Null sein. Dies ist ein Widerspruch.

Bei Zweifeln (in Bezug auf die Frage) fragen Sie bitte ...
Ich verstehe nicht, was Sie eigentlich sagen: Wo haben Sie die Gaußsche Oberfläche genommen? Sie haben gesagt, dass das Universum mit positiver Ladung gefüllt ist; bedeutet das also, dass die oberfläche das ganze universum umschließt?? Wenn dem so ist, wie kann es symmetrisch sein?????
Es ist wie das, was Kevin gesagt hat, Sanket. Stellen Sie sich für ein einfacheres Beispiel vor, Sie befinden sich in einem Raumschiff, das genau zwischen zwei Sternen fliegt, die ziemlich nahe beieinander liegen. Du fällst auf keinen von beiden zu und könntest sagen, dass es dort kein Gravitationsfeld gibt. Es muss ein Potentialgefälle vorhanden sein.

Antworten (3)

Das Problem hier ist, dass Sie keine Randbedingung angegeben haben.

Bei einem elektrostatischen Problem, bei dem Sie eine Ladungsverteilung erhalten ρ ( R ) und bat, das elektrische Feld zu finden E ( R ) , ist die Antwort die Lösung des Satzes von Differentialgleichungen

∇ × E = 0 , ∇ ⋅ E = ρ / ϵ 0 .
Um eine Differentialgleichung eindeutig zu lösen, müssen Sie eine Randbedingung angeben. Normalerweise ist diese Bedingung "das Feld ist Null im Unendlichen".

In dieser Situation funktioniert die übliche Randbedingung nicht, weil auch die Ladungsverteilung unendlich ist. Um das elektrische Feld zu finden, müssen Sie eine Randbedingung angeben. Andernfalls ist die Lösung genauso mehrdeutig wie der Versuch, sie zu lösen F = M A ohne Anfangsposition oder Geschwindigkeit.

Sobald Sie das tun, wird die Symmetrie gebrochen, wodurch Ihr " E ist symmetrisch, muss also null sein"-Argument schlägt fehl. Zum Beispiel ist eine Lösung E ( R ) = k X ich ^ für einen gewissen Wert von k . Sie können überprüfen, ob es das Gaußsche Gesetz erfüllt. Die Randbedingung ist „das Feld sieht aus wie k X ich ^ im Unendlichen", was nicht symmetrisch ist.

Dieses Problem ist subtil: Es taucht auch auf, wenn man Gravitationsfelder in einem unendlichen, gleichförmigen Universum betrachtet . Newton machte den gleichen Fehler, als er das dachte G musste überall durch Symmetrie verschwinden.

Es gibt eine Version dieses Problems, die in Griffiths E&M-Text in die andere Richtung geht; es beginnt im Grunde mit der E du gibst, fragt nach dem entsprechenden ρ , und bittet den Schüler dann zu kommentieren, warum das Feld in eine bestimmte Richtung zeigt, wenn die Ladungsverteilung gleichmäßig ist. Heiterkeit stellt sich ein.
Ja, ich hatte dieses Problem im Hinterkopf, als ich diese Antwort schrieb!
Ich denke, Sie haben das "Paradoxon des Gaußschen Gesetzes" gut erklärt und dieses Paradoxon gelöst, aber das Newton-Problem (das Symmetrie-Argument) nicht wirklich beantwortet - Newtons Argument lautete wirklich nur: "keine eindeutige Richtung; daher keine Kraft." Wir müssen überhaupt keine Gleichung lösen.
@Shing Der springende Punkt dieser Antwort ist, dass dieses Argument falsch ist.
Diese Antwort zeigt, dass das "Paradoxon des Gaußschen Gesetzes" falsch ist (und sowieso physikalisch absurd ist). aber ich glaube nicht, dass diese Antwort Newtons Unrecht zeigt: Es gibt keine Lösungsgleichung oder was auch immer im symmetrischen Argument.
@Shing Der Punkt ist, dass das Symmetrie-Argument nicht korrekt ist, da die Kräfte nicht einmal definiert sind, es sei denn, Sie regulieren den Aufbau (z. B. indem Sie die Ladungsverteilung endlich in der Größe machen). Und sobald Sie das tun, ist die Symmetrie nicht mehr da.

Die Antwort auf diese Frage hängt vollständig davon ab, wie die Ladungen verteilt sind. Zu sagen, dass das Gaußsche Gesetz hier gilt, ist richtig, aber nicht in allen Fällen. Angenommen, die positiven Ladungen sollen zufällig platziert werden. Eine solche Verteilung hätte eine leichte Ungleichförmigkeit, die sich mit der Zeit weiter entwickeln würde, weil Positiv Positives abstößt. Ein Nettofluss verlässt also eine Kugel, die einen Symmetriepunkt enthält.

Das Gaußsche Gesetz wird verfälscht, wenn alle Ladungen stattdessen einheitlich orientiert sind, ohne lokale Uneinheitlichkeit. In diesem Fall würden alle Ladungen zum Symmetriepunkt, also bliebe keine Ladung speziell , also kein elektrisches Feld.

Lassen Sie mich diese Situation der Einfachheit halber ändern. Nehmen wir ein gleichmäßig positiv geladenes Medium an, das sich gleichmäßig im Universum ausbreitet. Da wir jetzt davon ausgehen, dass das gesamte Universum gleichmäßig geladen ist, ist dies dasselbe wie überhaupt keine solche Ladung irgendwo im Universum.

Beachten Sie, dass das gleichmäßige Aufladen eines gleichmäßig unendlichen Mediums so ist, als würde man es überhaupt nicht aufladen!

Ein Universum mit einer einheitlichen positiven Ladungsverteilung ist physikalisch dasselbe wie ein Universum ohne eine solche Ladungsverteilung. Das Gaußsche Gesetz im ersten Universum scheint also verletzt zu sein, während es im zweiten äquivalenten Universum nicht der Fall ist ...

Das ist eine gute Frage, weil Sie dabei sind, etwas zu lernen. Da die äußere Ladung elektrische Felder erzeugt, die hineingehen, trägt sie dann auch Felder bei, die auf der gegenüberliegenden Seite der Oberfläche hinausgehen. Sie löschen sich also selbst aus. Während die Ladung innerhalb der Oberfläche nur elektrische Felder hat, die ausgehen.

Gaußsches Gesetz in einer gleichmäßigen Ladungsverteilung, die sich unendlich in alle Richtungen ausdehnt
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v