Paradox mit dem Gesetz von Gauß, wenn der Raum überall gleichmäßig geladen ist

Wenn Sie die Argumente sorgfältig verfolgt und überprüft haben, was nachweislich richtig ist und was nicht, würden Sie zustimmen, dass das Argument tatsächlich beweist, dass eine einheitliche elektrische Ladungsdichte kein einheitliches elektrisches Feld haben kann. Ihre ursprüngliche Aufgabe bestand darin, die Maxwell-Gleichungen (also das Gaußsche Gesetz) zu lösen. Wenn Sie also feststellen, dass die Gleichungen nicht erfüllt sind, bedeutet dies nur, dass Sie das Problem, das Sie lösen wollten, nicht gelöst haben oder dass die Kandidatenlösung es ist falsch. Sie können nicht plötzlich sagen – wie Ihre Frage suggeriert –, dass es egal ist, dass die Gleichungen nicht gelöst sind und Sie sie ändern möchten oder etwas anderes. Das würde die Spielregeln ändern – und die Gesetze der Physik ändern.

Stattdessen werden Sie in der Lage sein, Lösungen zu finden$\vec E(x,y,z)$die gehorchen${\rm div}\,\vec E = \rho/\epsilon_0$. Es stimmt jedoch nicht, dass dies$\vec E(x,y,z)$kann translationssymmetrisch sein. Stattdessen müssen Sie einen Ursprungsort auswählen$\vec E = 0$, sagen wir bei$(x,y,z)=(0,0,0)$, und schreibe

Das gleiche „Paradoxon“ ergibt sich im Fall der Erdbeschleunigung und der Massendichte. Im nicht-relativistischen Fall ist diese überraschende Ungleichförmigkeit von$\vec E$, obwohl nicht paradox, deutet stark darauf hin, dass die Ladungsdichte im längsten Maßstab Null sein sollte. Und es ist tatsächlich der Fall bei der elektrischen Ladungsdichte. Für die Massendichte ist dies nicht der Fall, obwohl das Newtonsche Argument uns immer noch zu dem Schluss führen würde, dass es wahr sein sollte. Die Masse kann jedoch nicht negativ sein und die Energiedichte ist positiv. Dies würde eine Verletzung der Translationssymmetrie in einem einheitlichen Newtonschen Universum erzwingen. Das Einsteinsche (gut, FRW) Universum, das den Gesetzen der allgemeinen Relativitätstheorie gehorcht, hat jedoch kein Problem mit einer insgesamt positiven Massendichte: Das Universum wird nur entsprechend gekrümmt. Unser Universum ist ein Beispiel.

Was geht hier vor sich?

Andere haben diese offensichtliche Inkonsistenz bemerkt: Das Gauß'sche Gesetz hat sich als falsch erwiesen!

Ich vermute, dass es hier darum geht, dass die (mangelnden geeigneten) Randbedingungen kein eindeutiges E -Feld garantieren.

Siehe Wikis Eindeutigkeitssatz für die Poisson-Gleichung

Ich füge eine etwas andere Umformulierung hinzu, da dies ein subtiles Thema ist, das in der einen oder anderen Form immer wieder und wieder und wieder in der einen oder anderen Form aufgetaucht ist . Das Endergebnis ist dasselbe, egal ob wir elektrische Ladung (die sowohl positive als auch negative Werte haben kann) oder Masse (die natürlich nur nichtnegativ sein kann) betrachten.

Im Mittelpunkt des Problems steht der Versuch, Eigenschaften eines Systems zu beschreiben, das nicht wohldefiniert ist. Vergessen Sie das Gleichgewicht; Eine unendliche homogene Verteilung führt zu Existenzproblemen, lange bevor das auftritt.

Jede physikalische Ladungsverteilung (elektrisch oder massenhaft) sollte im Grenzbereich einer (abzählbaren) Folge von endlichen Verteilungen erreichbar sein, für die die Physik auf festem Boden steht. Füge ein bisschen hier hinzu, dann ein bisschen dort. Es gibt jedoch mehrere Möglichkeiten, z. B. Materialhüllen hinzuzufügen, so dass die Grenze des Prozesses "eine unendliche, gleichmäßige Verteilung" ist, und sie stimmen nicht in jeder Hinsicht überein.

Betrachten Sie einen Punkt$\vec{r}$in$\mathbb{R}^3$, wobei der Ursprung anderswo gewählt wird. Erwägen Sie das Hinzufügen kugelförmiger Ladungsschalen, die am Ursprung zentriert sind, beginnend mit den kleinsten. Die ersten paar werden eine Nettobeschleunigung jeder Ladung bei induzieren$\vec{r}$, aber nach einem Punkt werden die Muscheln umfassen$\vec{r}$und trägt somit nicht zur Beschleunigung bei. Zusammenfassend ist der Gesamteffekt ungleich Null. Eine andere Herkunftswahl, die willkürlich hätte erfolgen müssen, führt jedoch zu einem anderen Ergebnis. Die Größen, die Sie der unendlichen Verteilung (elektrisches Feld, Gravitationspotential usw.) zuordnen möchten, hängen davon ab, wie Sie sie konstruieren , und es gibt keinen eindeutigen "natürlichen" Weg, dies zu tun.

Ihre unendliche Verteilung, im positivistischen Sinne genommen, um alle Auswirkungen zu umfassen, die sie auf Observables haben kann, existiert einfach nicht (mathematisch, nicht nur physikalisch), und daher können wir nicht darüber spekulieren, was diese Auswirkungen auf Observable sein könnten.

Einige Kommentare:

1. Wenn alle "Punkte" im Raum gleich geladen sind, definiert dies ein neues Vakuum. Dies ist eine globale Referenz. Es ist wie ein Dirac-Meer. Vielleicht war die Dielektrizitätskonstante des Vakuums anders.

2. Die Wahl eines Punktes als "Nullpunkt" unterbricht nicht die Translationsinvarianz des Raums, es sei denn, mathematisch gesprochen ist das Maß dieses Nullpunkts im Raum nicht Null. Das heißt, das Maß eines Punktes aus R ist Null. Das Maß eines Punktes außerhalb des diskreten Raums ist jedoch nicht Null (weil die Menge zählbar ist).

Falls der Nullpunkt ein Nicht-Null-Maß besitzt, wird der Raum um den gewählten "Null"-Punkt gekrümmt (wie oben erwähnt, wird alles gelöscht, aber nicht der Nullpunktbeitrag).

E. Atzmon

Auch in einfachen Worten. In einem unendlichen Universum mit einer gleichmäßigen Verteilung dunkler Materie befindet man sich immer im Zentrum dieser Verteilung. Die Schwerkraft in einer Kugelschale geht, wenn Sie es ausrechnen, innerhalb einer Kugelschale immer gegen Null. Deshalb geht die Schwerkraft auf der Erde nicht ins Unendliche. Bei Annäherung an die Erde nimmt die Schwerkraft mit der Entfernung um 1/r^2 zu. Wenn wir jedoch die Erde erreichen und durch die äußere kugelförmige Hülle der Materie gehen, hebt sich die Schwerkraft dieser Hülle nun auf. Das Volumen dieser Materie nimmt als Funktion von r^3 ab. Das Ergebnis nach der Berechnung ist eine lineare Abnahme der Schwerkraft, bis sie im Erdmittelpunkt auf Null geht. Ein unendliches Universum aus gleichmäßig verteilter Materie ohne definiertes Zentrum trägt überall zur Schwerelosigkeit bei, weil Sie sich immer im Zentrum einer Kugel befinden. Dies könnte uns fragen lassen, ob eine solche Unendlichkeit wirklich existieren kann. Zumindest scheint die Logik die Idee der Unendlichkeit zu assimilieren.

Das statische elektrische Feld kann dabei ähnlich wie das Gravitationsfeld betrachtet werden.

Ich denke, wir können uns darauf einigen, dass das E-Feld überall Null ist, wenn der gesamte Raum eine feste und gleichmäßige Ladungsdichte (in unserem Rahmen) trägt. Offensichtlich wird die Flussberechnung für jede geschlossene Oberfläche trotz des Vorhandenseins von "Ladung" innerhalb des begrenzten Bereichs ebenfalls Null ergeben.

Wenn ich „physisch“ und etwas weniger mathematisch denke, scheint mir, dass dieses sogenannte Paradox auf unsere Interpretation von div(E) ~ rho zurückzuführen ist. Vielleicht sollten wir uns diese Gleichung immer so vorstellen:

div (E) ~ rho - rho(0), wobei rho(0) die Ladungsdichte des "Vakuums" ist.

Wenn wir vom Standpunkt der Elektrostatik aus überall eine einheitliche (in meinem Rahmen) rho (0) -Ladungsdichte hinzufügen - wird sich das statische E-Feld aufgrund von "Überdichten" der Ladung nicht ändern. Zum Beispiel sieht das mit einem einsamen Elektron verbundene E-Feld gleich aus, wenn ich überall um es herum eine einheitliche rho (0) -Hintergrundladungsdichte hinzufüge (na ja, und auch).

Wenn wir erkennen, dass eine rho(0)-Ladungsdichte das physikalische Feld E nicht verändert, ist es leicht zu sehen, wie div (E) ~ rho - rho(0) uns mit Flussberechnungen und Ladungen dorthin zurückbringt, wo wir sein wollen . Das ist ein "Maßstab", dh eine Art Argument, und es ergibt für mich einen praktischen, physikalischen Sinn.

Das Interessante ist nun, ob eine diffuse gleichmäßige Ladungsdichte (rho (0)) im Hintergrund, wie sie in meinem Rahmen zu sehen ist, für einen verstärkten Rahmen gleich aussehen würde oder nicht. Ich habe im Moment nicht die Kraft, das herauszufinden, aber mein Instinkt sagt mir, dass in relativen, verstärkten Frames, was wie ein einheitliches Rho (0) aussieht, in etwas umgewandelt werden kann, das möglicherweise nicht einheitlich ist – sogar obwohl es ein Skalar ist (die Volumen und Querunterschiede spielen wahrscheinlich eine Rolle). Aber das muss überprüft werden (eine schöne EM-Unterrichtsübung). Außerdem vermute ich, dass in verstärkten oder rotierenden Frames rho (0) - wie in meinem "Rest-Frame" zu sehen - wie Strömungen aussieht und die Dinge ein Durcheinander sind (obwohl dies von Maxwells Eqns gut vorgeschrieben ist). Wieder,

Wie auch immer, ich denke, die Auflösung des Paradoxons beruht auf der Erkenntnis, dass physikalische Felder – wie E – aus UNTERSCHIEDLICHEN Quelldichten von einem einheitlichen Boden entstehen, für den die zugehörigen physikalischen Felder null sind.

Klingt richtig?

Ich möchte dem Kommentar von user10851 eine neue Perspektive hinzufügen. Wie bereits erwähnt, ist die gesuchte Lösung, bei der wir überall eine konstante elektrische Dichte haben, ungleich Null. Außerdem nimmt sie zu, je weiter wir uns vom Ursprung entfernen.

Es kann argumentiert werden, dass das Problem darin besteht, dass wir den Ursprung beliebig wählen können, sodass wir für jeden Punkt als Ursprung genau dieselbe Lösung finden, was widersprüchlich erscheint, denn wenn man fragt: „Was ist das elektrische Feld an einem Punkt$P$?", dann können wir keine ursprungsunabhängige Antwort geben, dh das elektrische Feld ist ursprungsabhängig (beobachterabhängig).

Die Perspektive, die ich vorschlage, ist folgende: DIESE LÖSUNG IST GENAU IDENTISCH MIT DER ERWEITERUNG UNSERES UNIVERSUMS

Unser Universum ist homogen, aber gleichzeitig dehnt es sich aus. Wie in der Lösung des Benutzers 10851 ist die Erweiterung stärker, je weiter wir uns vom Ursprung unseres Referenzrahmens entfernen. Wie in der Lösung hängt die Erweiterung von dem von uns gewählten Bezugssystem ab.

Das Problem in Ihrer Argumentation war also, dass die Annahme, dass die Homogenität der Ladungsdichte impliziert, dass das elektrische Feld überall Null ist . Wie wir gesehen haben, ist dies nicht der Fall.

WICHTIGER HINWEIS : Die Expansion des Universums ist nur ein Beispiel dafür, dass Homogenität keine Stabilität bedeutet. Ich behaupte natürlich nicht, dass die Expansion des Universums mit Ladung oder elektrischen Feldern zusammenhängt

Nur ein kurzer Punkt zu Ihrem Symmetrie-Argument. Die exakte Aufhebung aller elektrischen Feldbeiträge an einem Punkt$P$geht schief, weil kein Beitrag vorhanden ist, stornieren Sie den Beitrag aus dem Gebührenelement bei$P$selbst. Wie andere Poster sagten, müssen Sie mit dem Gauß'schen Gesetz wie geschrieben beginnen und Ihre gegebene Ladungsdichte integrieren. Sie erhalten kein gleichmäßiges elektrisches Feld von Null.