Was bedeutet Skaleninvarianz oder Nichtinvarianz des Elektromagnetismus physikalisch?

Skaleninvarianz einer Theorie bedeutet, dass wir, wenn wir ein Phänomen auf einer Skala bemerken (wie eine elektromagnetische Welle mit der Wellenlänge 400 nm), erwarten können, dass ähnliche Phänomene auf jeder anderen Skala möglich sind: 400 m, 400 km usw Magnetfeld eines kleinen Magneten hat genau dieselbe Form wie das Magnetfeld eines größeren Magneten derselben Form, nur umskaliert. Es sei nur daran erinnert, dass alle relevanten Qualitäten entsprechend umskaliert sind. EM wird unter der Transformation neu skaliert$x \mapsto b x$,$t\mapsto b t$, was bedeutet, dass Sie beim Neuskalieren räumlicher Dimensionen auch die Zeit entsprechend neu skalieren müssen. Das bedeutet, dass, wenn Sie eine Welle betrachten, das ist$b$Mal kürzer im Raum wird es auch haben$b$mal kürzere Schwingungsperiode usw. Sie wissen also nicht nur um die Existenz von Wellen anderer Länge, sondern können auch ihre Eigenschaften vorhersagen.

Das Fehlen von Skaleninvarianz bedeutet, dass die Beobachtung eines Phänomens nicht die Existenz ähnlicher Phänomene auf anderen Skalen garantiert. So sind beispielsweise alle Atome ähnlich groß (was sich aus Masse und Ladung des Elektrons errechnen lässt), und es gibt keine meter- oder kilometergroßen Atome. Ein weiteres Phänomen hängt mit der Vernichtung von Elektronen durch Antielektronen zusammen: die darin entstehenden Photonen Der Prozess hat feste Energien (und Wellenlängen) Es gibt auch subtilere Effekte, zum Beispiel durch die Bildung virtueller Elektron-Antielektron-Paare können Photonen miteinander wechselwirken, und die Stärke dieser Wechselwirkung hängt von ihrer Energie ab / Wellenlänge.

Dass eine Theorie skaleninvariant ist, bedeutet ungefähr, dass es keine einzelne Längenskala gibt, dass die Theorie auf allen Längenskalen gleich wirkt.

Nehmen wir zum Beispiel den klassischen Elektromagnetismus. Eines der bekannten Verhaltensweisen ist die Existenz von Lösungen mit ebenen Wellen, bei denen das elektrische Feld die Form hat

$$E(t,x) \sim E_0\mathrm{Re}~e^{i(kx -\omega t)}$$ und es gibt ein zugehöriges Magnetfeld. Die Wellenzahl $k$hängt mit der Wellenlänge zusammen$\lambda$der Welle über $$k = \frac{2\pi}{\lambda}.$$ Die Wellenlänge ist eine charakteristische Längenskala für diese Art von Phänomen. Aber in der klassischen EM gibt es Lösungen für ebene Wellen für alle Werte von$\lambda$. Alle ebenen Wellen verhalten sich gleich, egal wie lang oder kurz ihre Wellenlänge ist. In diesem Sinne ist die klassische EM skaleninvariant.

Jetzt in QED sind die Dinge anders. Die Energie$\epsilon$eines Photons hängt mit seiner Wellenlänge zusammen über:

$$\epsilon = \hbar\omega = h f = \frac{hc}{\lambda}.$$ Wenn die Wellenlänge kurz genug ist damit $$\epsilon>2m_ec^2,$$ Wo$m_e$bezeichnet die Masse des Elektrons, dieses Photon hat genug Energie, um ein Elektron-Positron-Paar zu bilden. Wenn es mit einem anderen Photon mit beliebig niedriger Energie kollidiert, besteht die Möglichkeit, dass aus der Kollision ein Elektron und ein Positron hervorgehen. In der QED machen also Photonen unterschiedlicher Wellenlängen unterschiedliche Dinge. In diesem Sinne ist die Theorie nicht skaleninvariant.