Implikation des Zusammenbruchs der Skaleninvarianz für Probleme mit intrinsischen Längen- oder Zeitskalen?

Ja, Elektromagnetismus ohne Quellen (dh Ladungen) ist skaleninvariant.

Dies ist auch daran zu erkennen, dass bei einer ebenen Welle der Wellenzahl$k$und Kreisfrequenz$\omega$eine Lösung ist, dann ist dies auch eine ebene Welle der Wellenzahl$ak$und Frequenz$a\omega$, für jede konstante reelle Zahl$a$. In einer räumlichen Dimension,$\exp[i(kx-\omega t)]$ist eine Lösung für alle$\omega$Und$k$so dass$\omega/k=1$(dh die Lichtgeschwindigkeit), wo wir verwenden$c=1$. Und Skalensymmetrie sagt dann einfach, dass jede solche Welle eine Lösung ist, solange$\omega/k=1$, seit$a\omega/ak = 1$Auch. Und da dies so ist, gilt dasselbe für jede lineare Überlagerung ebener Wellen, die sich jeweils mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen. Somit können wir beliebige Wellen bilden (mit einigen vernünftigen mathematischen Einschränkungen), und solange die ebenen Wellenkomponenten Lichtgeschwindigkeit haben, wird die beliebige Welle auch Lichtgeschwindigkeit haben und die Gleichungen für elektrische oder magnetische Felder (oder elektromagnetische Wellen, mit$\mathbf E$Und$\mathbf B$senkrecht, was mehr als diese beiden Gleichungen benötigt.

Es gibt keinen Maßstab, weil der Maßstab für die räumliche Komponente und die Zeitkomponente gleich sein müssen, wenn die einzige Einschränkung die Lichtgeschwindigkeit ist. Für Quellen kann es nun anders sein: Ein Dipol bestimmter Länge wird eine Quelle oder Senke für elektromagnetische Felder sein, deren Spektrum vorzugsweise bei Längen spitzt, die mit der Antennenlänge und den zugehörigen Frequenzen und ihren Harmonischen zusammenhängen. Wir haben eine Längenskala eingeführt. Die meisten oder alle Quellen führen Längen- und/oder Zeitskalen ein.

Wie der Wikipedia-Artikel, auf den verwiesen wird, feststellt und leicht zeigt, ist QED ohne Ladungen (dh Quellen oder Senken) auch skaleninvariant. Das stimmt, weil das Photon masselos ist. In einer Quantenfeldtheorie ohne Masse ist das quellenlose Feld skaleninvariant. Seine Strahlung skaliert als$1/r$für das Feld (dh die Amplitude). Auch die lineare Annäherung an die klassische Allgemeine Relativitätstheorie hat ihre Wellen$c$und geh wie$1/r$in Amplitude. Das Quant des Feldes ist das noch unentdeckte Graviton (obwohl es immer noch keine akzeptierte Quantengravitationstheorie gibt.

In ähnlicher Weise wären andere Quantenfelder, wenn sie masselos sind, skaleninvariant; Ein Beispiel ist das skalare masselose Klein-Gordon-Feld. Sobald ein Massenbegriff mit der Einführung von an eingeführt wird$m^2$in der Gleichung ist es nicht mehr skaleninvariant, und das Feld nimmt exponentiell mit ab$m$als Waage.