Energieimpulstensor des EM-Feldes in symmetrischer Form geschrieben

Ich lese das Buch von A. Zee, Einstein Gravity in a Nutshell . In Aufgabe 7 von Kapitel IV.2 heißt es, dass der Energie-Impuls-Tensor des elektromagnetischen Feldes

$$\begin{align} T^{\mu\nu}=\eta_{\lambda\sigma}F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}-\frac{1}{4}\eta^{\mu\nu}F_{\sigma\rho}F^{\sigma\rho} \end{align}$$ kann in symmetrischer Form unter Verwendung des dualen elektromagnetischen Tensors geschrieben werden, der als definiert ist$\tilde{F}_{\mu\nu}=-\frac{1}{2} \epsilon_{\mu\nu\lambda\sigma}F^{\lambda\sigma}$, $$\begin{align} T^{\mu\nu}=\frac{1}{2}\eta_{\lambda\sigma}(F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}+\tilde{F}^{\mu\lambda}\tilde{F}^{\nu\sigma}). \end{align}$$ In Problem 6 wird erwähnt, dass der Schlüssel die Identität ist $$\begin{align} \eta_{\lambda\sigma}(F^{\mu\lambda}F^{\nu\sigma}-\tilde{F}^{\mu\lambda}\tilde{F}^{\nu\sigma})=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}F^{\rho\tau}F_{\rho\tau} \end{align}$$ Ich stecke jedoch fest, wenn ich diese Identität beweise. Das erste Problem ist, dass ich a nicht trennen kann$\eta^{\mu\nu}$ab dem ersten Begriff auf der linken Seite. Das zweite Problem ist, dass der zweite Begriff so etwas wie haben wird$\epsilon^{\mu\lambda\alpha\beta}\epsilon^{\nu}_{~\lambda\gamma\eta}$nach dem Einstecken des Ausdrucks des dualen Tensors, aber ich weiß nicht, wie ich ihn vereinfachen soll. Irgendwelche Hinweise zum Nachweis dieser Identität?