Wie falsch sind die klassischen Maxwell-Gleichungen (im Vergleich zur QED)?

Die Maxwellsche Elektrodynamik versagt, wenn es um quantenmechanische Phänomene geht, genauso wie die Newtonsche Mechanik in diesem Bereich durch die Quantenmechanik ersetzt werden muss. Maxwells Gleichungen "versagen" nicht wirklich, da es immer noch eine äquivalente Version in QM gibt, es ist nur die Mechanik selbst, die sich ändert.

Lassen Sie mich darauf ein bisschen näher eingehen. In der Newtonschen Mechanik hatten Sie eine zeitabhängige Position und einen Impuls,$x(t)$und$p(t)$für dein Teilchen. In der Quantenmechanik wird der dynamische Zustand in den Quantenzustand überführt$\psi$, dessen engstes klassisches Analogon eine Wahrscheinlichkeitsdichte im Phasenraum in der Liouvillian - Mechanik ist . Es gibt zwei verschiedene „Bilder“ in der Quantenmechanik, die genau äquivalent sind.

• Im Schrödinger-Bild ist die dynamische Evolution im Quantenzustand kodiert$\psi$, die sich gemäß der Schrödinger-Gleichung zeitlich entwickelt. Ort und Impuls werden durch statische Operatoren ersetzt$\hat x$und$\hat p$die wirken$\psi$; Diese Aktion kann verwendet werden, um den erwarteten Wert und andere Statistiken für jede Positions- oder Impulsmessung zu finden.

• Im Heisenberg-Bild ist der Quantenzustand festgelegt, und es sind die Operatoren aller dynamischen Variablen, einschließlich Position und Impuls, die sich über die Heisenberg-Gleichung mit der Zeit entwickeln.

In der einfachsten Version der Quantenelektrodynamik und insbesondere wenn keine relativistischen Phänomene im Spiel sind, gelten die Maxwellschen Gleichungen weiterhin: Sie sind genau die Heisenberg-Gleichungen für die elektrischen und magnetischen Felder, die nun Operatoren für den Zustand des Systems sind$\psi$. Somit "benutzen" Sie formell immer noch die Maxwell-Gleichungen, aber das ist ziemlich irreführend, da die Mechanik um sie herum völlig anders ist. (Außerdem tendierst du dazu, am Schrödinger-Bild zu arbeiten, aber das ist nebensächlich.)

Dieses Regime wird verwendet, um Experimente zu beschreiben, die eine Quantisierung des Feldes selbst erfordern, wie z. B. die Hong-Ou-Mandel-Interferometrie oder Experimente, bei denen das Feld messbar mit Materie verschränkt ist. Es gibt auch eine große Grauzone von Experimenten, die mit diesem Formalismus sinnvoll beschrieben werden können, aber eigentlich kein quantisiertes EM-Feld benötigen, wie die von Anna erwähnten Beispiele. (So ​​lässt sich beispielsweise die Schwarzkörperstrahlung genauso gut mit diskreten Energieniveaus an den Emittern statt an der Strahlung erklären.)

Dieses Regime war bis vor kurzem ziemlich auf die optische Physik beschränkt, also brauchte sich ein Elektroingenieur nicht wirklich darum zu kümmern. Das hat sich mit der Einführung von Circuit QED , der Untersuchung von supraleitenden Schaltkreisen, die ein Quantenverhalten zeigen, begonnen. Dies ist ein aufregendes neues Forschungsgebiet und eine unserer besten Möglichkeiten, einen Quantencomputer zu bauen (oder, je nachdem, wen Sie fragen, das Modell, das von dem einen Quantencomputer verwendet wird, der bereits gebaut wurde. ish.), also ist es etwas, das man sich ansehen sollte wenn du nach Karrieremöglichkeiten suchst ;).

Das wirklich Verrückte kommt dann, wenn man die Elektrodynamik in Bereiche drängt, die sowohl quanten- als auch relativistisch sind (wobei „relativistisch“ bedeutet, dass die Frequenz$\nu$der EM-Strahlung ist größer als$c^2/h$multipliziert mit der Masse aller relevanten Materialpartikel). Hier ändert sich auch die Quantenmechanik und wird zur sogenannten Quantenfeldtheorie , die eine Reihe verschiedener Phänomene einführt. Insbesondere kann sich die Anzahl der Teilchen im Laufe der Zeit ändern, sodass Sie ein Photon in eine Kiste stecken und zurückkommen können, um ein Elektron und ein Positron zu finden (was in der klassischen EM nicht passieren würde).

Auch hier ist das Problem nicht EM selbst, sondern die Mechanik drumherum. QFT basiert auf einem Konzept namens Action , das die Dynamik vollständig bestimmt. Um die Wirkung herum kann man auch klassische Mechanik aufbauen, und die Wirkung für die Quantenelektrodynamik ist formal identisch mit der der klassischen Elektrodynamik.

Dieses Regime umfasst Paarbildungs- und Vernichtungsphänomene sowie Dinge wie Photon-Photon-Streuung, die im Widerspruch zu klassischer EM zu stehen scheinen. Sie können beispielsweise zwei Gammastrahlen erzeugen und sie kreuzen lassen, und sie werden leicht voneinander gestreut. Dies widerspricht dem Überlagerungsprinzip der klassischen EM, da es die Linearität bricht, sodass man sagen könnte, dass die Maxwell-Gleichungen versagt haben – aber wie ich bereits sagte, ist es etwas subtiler als das.

Komisch, dass bei allen bisherigen Antworten das einfache und elegante folgende Kriterium vergessen wurde: Quantenmechanik erscheint wann

mit$h=2\pi\hbar\approx6,63.10^{-34}\text{J}\cdot\text{s}$die Planck-Konstante und$k_{B}\approx1,38.10^{-23}\text{J}\cdot\text{K}^{-1}$die Boltzmann-Konstante,$\omega$und$T$die (Kreis-)Frequenz bzw. die Temperatur sind.

Das Kriterium kommt wie folgt ins Spiel: Die Planck-Konstante ist die charakteristische Energieskala (zu Frequenz) der Quantenwelt, und die Boltzmann-Konstante ist die charakteristische Energieskala (zu Temperatur) der statistischen Welt.

In elektrischen Schaltkreisen rufen die meisten Eigenschaften, an denen man interessiert ist, einen Elektronenschwarm hervor, der von einem Punkt zum anderen fließt. Tatsächlich ist die Anzahl der fließenden Elektronen ziemlich groß, sagen wir$\left(10^{10}-10^{30}\right)$Elektronen (großes Fenster). Der Zweig der Physik, der Vielteilchenprobleme behandelt, ist die statistische Physik. Im Gegensatz dazu wurde die Quantenmechanik (insbesondere die Quantenoptik) mit Einkörperproblemen im Kopf konstruiert (ein Elektron umkreist einen Kern, ein Teilchen tunnelt, ...). Dies gilt immer noch (aber tendenziell weniger ausgeprägt) in der Hochenergiephysik. Der Zweig der Physik, der sich mit der Quanteneigenschaft des in Materie fließenden Elektronenbündels befasst, wird als Physik der kondensierten Materie bezeichnet. Tatsächlich kann man die meisten Materialeigenschaften nicht ohne Quantenmechanik verstehen (Bandtheorie, optische Reaktion von Materialien, ...). Jeder Elektroingenieur verwendet also Quantenmechanik, der Punkt ist, dass er statistische Mittelung dieser Quanteneigenschaften verwendet verhalten sich recht gut wie im klassischen Regime. Anders gesagt, es könnten Quanteneffekte sein, die in die Berechnung der Kapazität, Induktivität und des Widerstands von Materialien eingeführt werden, aber sobald Sie diese Größen kennen, können Sie einfach die Kirchhoffschen Gesetze verwenden.

Das ist das wichtigste Geheimnis der Physik: Eine Theorie ist immer wirksam. Die Kirchhofschen Gesetze sind bei hohen Temperaturen (aber nicht zu hoch, sagen wir bei Raumtemperatur) und für quasistatische Phänomene (ziemlich niedrige Frequenzen) korrekt. So werden sie aus Maxwells Theorie abgeleitet.

Eine Eigenschaft der Materie, die man ohne Quantenmechanik nicht erklären kann, die aber im Mikrowellenbereich bekannt ist, ist der Magnetismus. Es gibt jedoch eine Schaltungstheorie für diese Materialien, die Magnetkreistheorie genannt wird , die wirklich wie die Maxwell-Gleichungen aussieht. Aber um die makroskopischen Größen zu berechnen, die die Materialien aufweisen, braucht man die Quantenmechanik ... oder um sie zu messen und zu tabellieren!

Aus historischer Sicht, als die Menschen versuchten, die gleichen Regeln auf die Ein-Körper-Probleme und die Viel-Körper-Probleme anzuwenden (und auch die Verallgemeinerung auf relativistische Probleme), begannen sie mit der Konstruktion der Quantenfeldtheorie. Die meisten der bisher gegebenen Antworten diskutieren im Wesentlichen die Quantenfeldtheorie im Vakuum, obwohl die Maxwellschen Gleichungen immer gültig sind, vorausgesetzt, Sie definieren die elektrischen und magnetischen Felder als Mittelwert über die Quanteneigenschaften. Tatsächlich muss man manchmal den Austausch von Erregungen zwischen isolierten Objekten und den Feldern quantifizieren ( Anna gab einige Beispieledieser Quantisierung in ihrer Antwort). Die Maxwell-Gleichungen werden wiederhergestellt, wenn Sie viele Ein-Teilchen-Konfigurationen zusammenfassen (um es schnell zu sagen). Manchmal erfordert diese Quantisierung auch die Verallgemeinerung der Symmetrie der Felder, es gibt dann eine Verallgemeinerung der elektrischen und magnetischen Felder, die in diesem Zusammenhang als nicht-Abelsche Eichfelder bezeichnet werden. Von der Beschreibung der Elektronen in der Materie sind wir dann aber noch weit entfernt, da diese Theorien zur Erörterung elementarer Kernbestandteile benötigt werden, mit manchen Energieskalen beschäftigt sich die Elektrotechnik überhaupt nicht ! (Ich drücke den Daumen, denn wir sollten niemals auf die technologische Zukunft wetten, sagen wir zumindest für die nächsten paar Jahrzehnte ... )

Wenn Sie die Anzahl der an Kreisläufen beteiligten Teilchen verringern, die Temperatur verringern und die Frequenz erhöhen, beginnen sich die Systeme anders zu verhalten als in den Kirchhofschen Gesetzen. In gewisser Weise treten all die Quanteneigenschaften, die in der oben diskutierten statistischen Mittelung verborgen waren, immer mehr in den Vordergrund.

Die Diskussion elektronischer Eigenschaften bei niedrigen Temperaturen (wenige Kelvin), niedrigen Dimensionsskalen (Nanometer-/Mikrometerskala) und hohen Frequenzen (MegaHertz/GigaHertz; für Optiker ist es nicht so hoch, aber für Elektroingenieure schon) ist das zentrale Thema von was man mesoskopische Physik nennt , eine Zwischenphysik zwischen klassischer und Quantenwelt. Die von Emilio Pisanty in seiner Antwort auf dieser Seite erwähnte Schaltung QED ist nur ein Unterthema der mesoskopischen Physik. Es könnte durchaus das "Quantenreichste" sein, da die elektronischen Eigenschaften von Supraleitern nicht durch die klassische Physik beschrieben werden können, obwohl Sie die Maxwell-Gleichungen korrigieren können, um den Elektromagnetismus von Supraleitern zu diskutieren. Diese Reihe von modifizierten Gesetzen wird aufgerufenLondons Gleichungen , die wirksame Theorie für supraleitende Schaltungen, die den Josephson-Effekt allerdings nicht erklären können. Wenn Sie diese Gesetze ein wenig erforschen, werden Sie feststellen, dass sie nicht eichinvariant sind ... etwas, das Sie ohne den großen Apparat der Quantenfeldtheorie nicht erklären können. Es dauerte 10 bis 20 Jahre, um die Londoner Theorie aus mikroskopischer Rechnung zu erklären, und wiederum 10 Jahre, um das Versagen der Eichinvarianz mit dem Anderson-Higgs-Mechanismus in Verbindung zu bringen. In der Zwischenzeit wandten Elektroingenieure die Londoner Gleichungen an und tabellierten die Supraleiter mit großer Genauigkeit!

Diese Antwort wurde viel länger, als ich zu Beginn des Schreibens dachte, sicherlich weil das Thema faszinierend ist :-)

Ich möchte Ihnen eine andere Perspektive auf Maxwells Gleichungen und effektive Theorie geben. Ein paar Jahrzehnte nach ihrem Erscheinen dachten die Leute, die Maxwell-Gleichungen würden alle Strahlungen vereinen, die jemals möglich waren . Tatsächlich vereinten sie alle damals bekannten Strahlungen, die schon ein großer Schritt waren, oder ? Es ist also die Interpretation der Universalität, die naiv mit den Maxwell-Gleichungen verbunden ist, die fehlgeschlagen sind, nicht die Maxwell-Gleichungen selbst, da sie in einem klaren historischen und experimentellen Kontext diskutiert wurden. Die Maxwell-Gleichungen müssen korrigiert (oder radikal geändert) werden, wenn man zu hohen Frequenzen geht (was bedeutet: bei hohen Energien) oder wenn man zu niedrigen Temperaturen geht (was bedeutet: bei niedriger Energie). Ein weiterer subtiler Punkt (ich hoffe, ich habe es oben sorgfältig erklärt) ist: Maxwells Gleichungen beschreiben auch kein einzelnes Objekt (sagen wir, einzelne Photonen). Aber offensichtlich wurden sie nie dafür entwickelt ... und das ist tatsächlich die gesamte mechanische Beschreibung, die geändert werden muss, um an diese Grenze zu gelangen. Emilio hat das ausführlich besprochen.

Ein wichtiger Punkt, der in der obigen Diskussion übrig geblieben ist, ist: Natürlich war das große Verdienst von Maxwell, Elektrizität und Magnetismus zu vereinen, nicht die Strahlungen, wie ich oben sagte. Tatsächlich kommt Strahlung ganz natürlich aus der elektromagnetischen Theorie. Als letzte Bemerkung könnte man auch sagen, dass die Maxwellschen Gleichungen den Elektromagnetismus definieren . Das ist die gängige Sichtweise, und deshalb sprechen die Leute von Quantenelektromagnetismus, wenn sie die Quantenversion der Maxwell-Gleichungen verwenden, ...

Anna V liegt falsch, wenn sie sagt, dass Maxwells Gleichungen nicht mit der Schwarzkörperstrahlung übereinstimmen. In der Quantenmechanik gibt es, selbst wenn Sie die Strahlung ignorieren, eine Ladungsdichte, die Sie (im Prinzip) aus der Schrödinger-Gleichung berechnen können. In einem warmen Körper schwankt diese Ladungsdichte durch zufällige thermische Bewegung. Wenn Sie die zeitliche Entwicklung der Ladungsdichte verfolgen und dann die Maxwell-Gleichungen anwenden, erhalten Sie das korrekte Schwarzkörper-Strahlungsspektrum. Sie müssen die Maxwell-Gleichungen nicht verwerfen, und Sie müssen die Energie nicht quantisieren.

Annas andere Beispiele sind ähnlich falsch. Nichts in den Maxwell-Gleichungen sagt ein kontinuierliches Spektrum für Atome voraus. Sie verwenden nicht die Maxwell-Gleichungen, um die Ladungsbewegung innerhalb eines Atoms zu berechnen, sondern die Schrödinger-Gleichung. Von dort erhalten Sie oszillierende Ladungsverteilungen. Wenn Sie dann das Strahlungsspektrum mit den Maxwell-Gleichungen berechnen, erhalten Sie genau die richtige Antwort, bis hin zu den Linienbreiten.

Dasselbe mit Lasern. Schrödingers Gleichung gibt Ihnen die "Besetzungsinversionen" usw., aber die resultierenden Wellen, die sich aus den atomaren Schwingungen ergeben, sind völlig klassisch: insbesondere die Art und Weise, wie ein Resonator, der einen nahe gelegenen Resonator anregt, ihn in Phase treibt, so dass die resultierende Welle kohärent ist. Alles ergibt sich aus Maxwells Gleichungen. Nicht die atomaren Zustände natürlich ... die stammen von Schrödinger. Aber die resultierende Strahlung ist alles Maxwell.

BEARBEITEN: Ruslan hat (in den Kommentaren) gefragt, wie ich die Linienbreiten nur mit Schroedinger + Maxwell berechnen kann. Es ist eine Berechnung, die ich in meinem Blog gemacht habe. die Sie hier finden können . Es ist wichtig zu verstehen, dass wir zwar gerne über Dinge wie "ein Wasserstoffatom im reinen angeregten Zustand" sprechen, wir es in einer experimentellen Situation jedoch normalerweise mit einem Ensemble von einer Million Wasserstoffatomen zu tun haben, von denen einige (z. 1 %) davon befinden sich im angeregten Zustand (100 %). In diesem Fall kann ich die Berechnung nicht durchführen. Aber es gibt keine experimentelle Möglichkeit, dieses hypothetische Ensemble von einem alternativen Ensemble zu unterscheiden, bei dem alle (100 %) Atome in einem 1 % angeregten Zustand sind. Und dann ist die Rechnung offensichtlich.

Wenn Sie der Meinung sind, dass diese Zustände unterscheidbar sind, versuchen Sie, die Dichtematrix für sie zu schreiben.

Klassische elektromagnetische Wellen entstehen aus der zugrunde liegenden quantenelektrodynamischen Beschreibung auf glatte und konsistente Weise. Das Quantengerüst bedeutet, dass die klassischen Wellen aus Photonen aufgebaut sind, und das einzige Mal, wo man sich um mehr Details kümmern muss, als die Maxwellschen Gleichungen liefern, ist auf der Ebene der Teilchenphysik und überall dort, wo Quantisierung gefunden wurde, um Diskrepanzen klassischer Vorhersagen zu beseitigen Daten.

1. die Atomspektren , die Linien zeigen, die von den glatten Lösungen von ME unerwartet sind

2. die Schwarzkörperstrahlung , die eine Quantisierung der Energie benötigt

3. Lasern und ähnliche Phänomene, die von der Atomphysik abhängen

4. Situationen, in denen Photonen (Partikel) energetisch genug sind, um Partikel zu erzeugen und zu vernichten, messbare Photon-Photon-Wechselwirkungen usw. haben, die mit Lösungen von ME nicht beschrieben werden können.

Klassische Lösungen der Maxwell-Gleichungen sind für die meisten Situationen in Ordnung.

Bearbeiten: Wenn ich mir die Diskussion in der Antwort von Marty Green ansehe, in der er darauf besteht, dass Maxwells Gleichungen nicht versagen, indem er das Schrödinger-Atom verwendet und die Emission und Absorption von Hand auf den Linien wedelt, denke ich, dass dies in der vollständigen Antwort von Emilio Pisanty darüber der Fall ist wird gelöscht:

In der einfachsten Version der Quantenelektrodynamik und insbesondere dann, wenn keine relativistischen Phänomene im Spiel sind, gelten weiterhin die Maxwellschen Gleichungen: Sie sind genau die Heisenberg-Gleichungen für die elektrischen und magnetischen Felder, die nun Operatoren für den Systemzustand ψ sind. Somit "benutzen" Sie formell immer noch die Maxwell-Gleichungen, aber das ist ziemlich irreführend, da die Mechanik um sie herum völlig anders ist.

Die Form ist dieselbe, aber die Art und Weise, wie sie im Quantenregime angewendet wird, ist drastisch anders, so unterschiedlich Differentialoperatoren (Quanten) von reellen Variablen (klassisch) sind.

Das Zitat verdeutlicht, was ich als „Klassische elektromagnetische Wellen aus der zugrunde liegenden quantenelektrodynamischen Beschreibung in einer glatten und konsistenten Weise hervorgegangen bin“ formuliert habe.

BEARBEITEN: Da dies zum Duplikat einer aktuellen Frage erklärt wurde, möchte ich zwei Links hinzufügen. Hier ist die Maxwell-Wellenfunktion des Photons angegeben. , Lubos Motl hat diesen Blogeintrag über Wie klassische Felder, Teilchen aus der Quantentheorie hervorgehen

Das Problem ist mit einer Ladung im leeren Raum, selbst wenn sie mit Beschleunigung betrieben wird, kann sie die Welle immer noch nicht aussenden. Es kann die Strahlung nicht aussenden. Damit ein Emitter Strahlungswellen aussendet, benötigt er einen Absorber, um die Welle zu empfangen. Das sagt uns die Absorbertheorie von Wheeler-Feynman.

Wenn Sie davon ausgehen, dass eine Ladung auch ohne Absorber immer eine Strahlungswelle aussenden kann, machen Sie einen Fehler. Nach der Maxwellschen Theorie sendet der Quellenstrom immer eine Welle aus, das stimmt nicht.

Gemäß dem "Gegenenergieprinzip" und dem "Selbstenergieprinzip" kann nur dann ein Photon ausgesendet werden, wenn die verzögerte Welle eine passende fortgeschrittene Welle findet. Das bedeutet, dass nur die Verzögerungswelle und die Vorauswelle synchronisiert werden, die Strahlung erzeugt werden kann.

Daher müssen zwei Gruppen von Maxwell-Gleichungen zusammengearbeitet werden, eine für die verzögerte Welle, eine andere für die fortgeschrittene Welle.

Ohne eine angepasste fortgeschrittene Welle wird vielleicht auch die verzögerte Welle ausgesendet, aber sie kehrt mit einem Zeitumkehrprozess zurück.

Fazit: Maxwell-Gleichungen sind nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit wahr, je nachdem, ob eine männliche Welle mit einer weiblichen Welle heiraten kann oder nicht. Das ist der Grund in QET, die Welle ist Wahrscheinlichkeitswelle.

Siehe meine Veröffentlichung: http://www.openscienceonline.com/journal/archive2?journalId=726&paperId=4042